Физическая задача №5

Требуется решить стационарное одномерное уравнение теплопроводности

(T)+Q(T) = 0. (1)

В этом уравнении Т(x) – температура,- коэффициент теплопроводности,Q– мощность источников тепла. Уравнение решается при граничных условиях первого рода

Т(0) = Т(L) =T₀= 20C(2)

Полагается, что внутренние источники тепла обязаны протеканию постоянного тока Jпо металлическому проводнику длиной -L, сечением -Sи удельным сопротивлением=(Т). В этом случае

Q(x) =(T)J² /S²,(T) =(T₀)(1+(T–T₀)) (3)

Величина постоянного тока определяется из закона Ома

J = U₀/R(T), R(T) = ((T(x))dx)/S. (4)

Коэффициент теплопроводности в (1) будем считать постоянным. В этом случае уравнение (1) cучетом принятых допущений приводится к виду

T+U₀²S^-2(T)/(R²(T)) = 0. (5)

Как видно, это нелинейное уравнение. Решать соответствующие ему конечно-разностные уравнения логично с помощью итераций

T_k+1^(m+1) – 2 T_k^(m+1) +T_k-1^(m+1) + h² F(T^(m)) =0. (6)

В этом уравнении F(T^(m)) соответствует внутренним источникам тепла в уравнении (5),h– шаг пространственной сетки (h=L/N),k– номер узла. На каждой итерации уравнение (6) решается методом скалярной прогонки. Интеграл, определяющий общее сопротивление проводника длинойL, считать по любой квадратурной формуле (метод прямоугольников или метод трапеций). Проверку метода прогонки можно осуществить на варианте с точным решением, считая, что удельное сопротивление не зависит от температуры. В этом случае уравнение (5) приводится к виду (q–const)

T+q= 0,q=U₀²(0L²). (7)

Точное решение этого уравнения

T=T₀+ 0.5qx(L-x). (8)

Заданными параметрами считать

L= 10 см, Т₀=20С ,Ом мм/м ,

2 мм,209 Вт/(м К) (9)

Задаваемым параметром является величина напряжения источника тока в вольтах (- номер студента в группе).

Условия представления и защиты результатов.

1. Разбираться в физической и математической постановке задачи. Указать погрешности выбранной модели.

2. Показать зависимость результатов от основного параметра метода – hи от числа итераций. В качестве интегральной характеристики выбрать максимальное значение температуры, достигаемое в середине проводника при.

3. Представить зависимость T(x), сравнить ее с зависимостью при постоянном значении мощности источника и объяснить различие.

Комментарий. При использовании данных обратить внимание на единицы. Так, например, значениев единицах Оммм²м требуется умножением на 10^-6 перевести в Омм.

6.8 Краевые задачи для уравнений в частных производных

В данном разделе рассмотрено решение следующих краевых задач:

уравнение переноса (параболического типа),

уравнение Лапласа (эллиптического типа),

уравнение колебаний (уравнение гиперболического типа).

Уравнение переноса. С помощью этого уравнения, например, определяется распределение по координате температурыu(x,t) в линейном теплопроводном стержне в момент времени при. В общем виде краевая задача задается уравнениемс граничными условиями,и начальным условием. Здесь,, заданные функции,  коэффициент температуропроводности.

Выбором масштаба и начала отсчета по координате x всегда можно представить . Для временной координаты можно принять. Граничные условия вместе с начальным переписываются:

, ,.

Вводится сетка

, ,;,,.

Производная по времени аппроксимируется односторонней конечной разностью вперед: . Для второй производной используется аппроксимация. Введем обозначение функции.

В результате для внутренних точек получается разностное уравнение:

, i=1,…,N-1.

Выражая значение сеточной функции на -ом слое по времени, через ее значения на-ом слое приходим к уравнению:

, ;,

при , , ;, .

Данная схема решения уравнения теплопроводности называется явной. Она имеет первый порядок аппроксимации по  и второй по h. Схема устойчива при . Вычисления с заданной точностью продолжают, до тех пор, пока не выполнится условие .

Ниже рассмотрен пример решения уравнения теплопроводности при следующих краевых условиях: ,,. Дополнительно принято,,. Точки, определяемые из краевых условий, выделены полужирным шрифтом.

		x= 0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
t=		1	2	3	4	5	6
0	1	0	0,58778525	0,951057	0,951057	0,587785	0
0,02	2	0	0,47552826	0,769421	0,769421	0,475528	0,06
0,04	3	0	0,38471044	0,622475	0,622475	0,41471	0,12
0,06	4	0	0,31123729	0,503593	0,518593	0,371237	0,18
0,08	5	0	0,25179625	0,414915	0,437415	0,349296	0,24
0,1	6	0	0,20745745	0,344606	0,382106	0,338707	0,3

На практике чаще используют неявную схему (схему с опережением), где вторая производная берется в момент времени .

или

при ,. Здесь, .

Полученное уравнение решается методом прогонки, с помощью которого находятся все на-ом слое по времени.

Краевые условия для этой схемы:

, ,;, .

Из первого условия для прямой прогонки определяются первоначальные прогоночные коэффициенты: ,, второе условие даетдля обратной прогонки.

Рассмотренная неявная схема имеет тот же порядок точности, что и явная, но является абсолютно устойчивой.