Лабораторная работа №13

1. Решить задачу Коши для уравнения первого порядка на одном и том же множестве значений с шагоми., используя метод Эйлера первого порядка, исправленный или модифицированный метод Эйлера и метод Рунге-Кутта 4-го порядка Полученные результаты свести в одну таблицу и сопоставить.

2. Используя метод Эйлера с уточнением, найти приближенное решение задачи Коши в тех же точках, что и в предыдущем задании. Точность вычислений должна составить 0,0001. Помимо решения в каждой точке вывести число итераций.

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , .

16. , .

17. , .

18. , .

19. , .

20. , .

21. , .

22. , .

23. , .

24. , .

25. , .

26. , .

27. , .

28. , .

29. , .

30. , .

Лабораторная работа №14

Используя метод Рунге-Кутта 4-го порядка, найти приближенное решение изадачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка прис шагомна отрезке, удовлетворяющее начальным условиям ,.

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

17. ,

18. ,

19. ,

20. ,

21. ,

22. ,

23. ,

24. ,

25. ,

26. ,

27. ,

28. ,

29. ,

30. 

Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка

В общем виде краевая задача записывается с помощью уравнения

при

и его краевых условий

Здесь  заданные функции,  коэффициенты (). Необходимо найти решение этой задачи на отрезке.

В частных случаях():

1. , краевое условие первого рода (условие Дирихле)

2. , краевое условие второго рода (условие Неймана)

3. , краевое условие третьего рода (смешанное краевое условие)

Область интегрирования разбивается на N отрезков длиной (шагом) , тогда,i=0,…,N. заданные функции в узловых точках заменяются на . Первая производная в уравнении аппроксимируется центральным конечно-разностным отношением:, вторая - отношением.

В результате задача сводится к конечно разностному уравнению

, ,

которое легко сводится к виду

, , где

, ,,.

Данное уравнение решается методом прогонки (так же как это было рассмотрено для сплайн-интерполяции).

Прогоночные коэффициенты вычисляются по рекуррентным формулам:

, ,.

Значения определяются из конечно-разностной формы первого краевого условия:. Отсюда:

, .

Из второго краевого условия и формулыопределятся

, где ,.

По формуле дляi=N, N-1, …, 2, 1 находятся все остальные значения.

Лабораторная работа №15

С помощью метода конечных разностей, найти приближенное решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с точностью 10^-6 и шагом .

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

17. ,

18. ,

19. ,

20. ,

21. ,

22. ,

23. ,

24. ,

25. ,

26. ,

27. ,

28. ,

29. ,

30. ,

Физическая задача №4

Методом пошагового интегрирования найти зависимость тока от времени J(t) и параметры этой зависимости. Ток течет в колебательном контуре, содержащем емкость C, индуктивность L и сопротивление R. При постоянных значениях параметров контура имеется точное решение, описывающее процесс затухающих колебаний. Это решение рекомендуется использовать для проверки схемы счета и оценки погрешности решения. Полагается, что сопротивление цепи R увеличивается за счет выделения на нем тепла по закону Джоуля-Ленца. Дифференциальное уравнение задачи имеет вид

LdJ/dt+RJ+q/C= 0 (1)

Это уравнение отражает второй закон Кирхгофа для замкнутой цепи – сумма падений напряжений равна сумме ЭДС (ЭДС в нашей цепи нет). Первое слагаемое в (1) - падение напряжения на индуктивности U_L, второе слагаемое – падение напряжения на пассивном сопротивленииU_R (закон Ома), третье слагаемое – напряжение на емкостиU_C (q-величина заряда на емкости). Используя связь тока с изменением заряда на конденсатореJ=dq/dt, уравнение (1) записывают в виде

d²q/dt² + 2bdq/dt + ₀²q = 0, (2)

в котором использованы обозначения для декремента затухания и собственной частоты

b= 0.5R/L,₀²= 1/(LC) . (3)

При b= 0 дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания с циклической частотой₀ (циклическая частота равна обычной частоте умноженной на 2). Приb=const<₀происходят затухающие колебания с частотой(еслиb>₀ колебания ангармонические). Напомним, что в нашем случаеbconst.

Перейдем к описанию способа вычисления сопротивления R(T) =R(T(t)). При небольших изменениях температуры полагают, что сопротивление линейно зависит от температуры

R(T) =R(0) (1+(T-T₀)) (4)

В этой зависимости R(0) - сопротивление при температуреT₀, а- температурный коэффициент. Для нахождения температуры полагаем, что все тепло, выделившееся на сопротивлении согласно закона Джоуля-Ленца

Q(t) =  J²(t)R(t)dt  J_k² R_k (5)

идет на нагрев сопротивления в соответствии с формулой

Q=mc(T–T₀), (6)

в котором m- масса сопротивления, а с – теплоемкость единицы массы. Из формул (5)-(6) следует, что

T(t)T₀+ (J_k²R_k)/(mc). (7)

Сумма в (7) соответствует приближенному вычислению интеграла по методу прямоугольников (- шаг по времени,k- номер шага по времени).

Опишем простейшую схему счета (можно использовать другую, но иметь доказательстваее работоспособности) с порядком аппроксимацииO(²)

q_k+1 - 2q_k + q_k-1 + b(q_k+1-q_k-1) + (₀)²q_k =0. (8)

После преобразований схема приводится к виду

q_k+1= ((2 - (₀)²)q_k+ (b_k–1)q_k-1)/(1+b_k) (9)

Обсудим начальные условия задачи. В начальный момент времени полагается, что ток не течет, а на конденсаторе задается разность потенциалов U₀. То есть предполагается, что начальный момент времени соответствует моменту включения в цепь заряженного конденсатора. Таким образом, имеем

q(0) =CU₀,J(0) = 0 (10)

Для счета по трехслойной схеме требуются значения заряда на двух слоях. Одно значение при k= 0 следует из (10). Значение приk=1 (t=) находится из разложенияq() в ряд Тейлора и использования дифференциального уравнения вместе с начальным условием для тока

q₁ =q₀(1 – 0.5²₀²) (11)

К числу фиксированных параметров относятся (используется система единиц СИ)

C= 440 мкФ ,L= 410^-7Гн, с=0.896 кДж/(кг К),

R(0)= 10^-4 Ом,m= 1 г , Т₀= 20С, (12)

Тпл=660.1 °С, Qпл=397 к Дж/кг,0.0043/К.

Электрические параметры примерно соответствуют параметрам, которые использовались при попытках превращения графита в алмаз в лаборатории радиоспектроскопии А.С. Кимом. Графит находился в металлической обойме, которая при протекании тока расплавлялась и за счет пинч-эффекта сжимала графит. Параметры металлической обоймы (m, с,, Тпл,Qпл) соответствуют алюминию [1].

Начальное напряжение на конденсаторе определяется номером студента по формуле В.

Условия представления и защиты результатов.

1.Разбираться в физической и математической постановке задачи. Счет вести в течении периода , определенного по циклической частоте.

2. Показать зависимость интегральных характеристик решения от основного параметра метода -. В качестве интегральных характеристик выбрать первое экстремальное значение силы тока и время достижения этого значения.

3. Представить зависимости J(t), Т(t) на периоде. Объяснить их. Выяснить – достигнута ли температура плавления. Указать погрешности выбранной модели.