4. Канонические уравнения автомата

Если в момент времени t=1, 2, ... на вход автомата А=(X, Q, Y, , ) последовательно подаются входные символы x(t)X и при этом автомат находится в состоянии q(t)Q, то под воздействием символа x(t) автомат перейдет в новое состояние q(t+1)Q и выдаст выходной сигнал y(t).

Величины x(t), y(t), q(t), q(t+1) связаны между собой следующими уравнениями:

t=1, 2, …, n, …

Эти уравнения называются каноническими уравнениями автомата А. При задании автомата системой булевых функций эти уравнения запи­сываются в координатной форме:

z₁(t+1)=₁(x₁(t), …, x_k(t), z₁(t), …, z_r(t))

…

z_r(t+1)=_r(x₁(t), …, x_k(t), z₁(t), …, z_r(t))

y₁(t)=₁(x₁(t), …, x_k(t), z₁(t), …, z_r(t))

…

y_s(t)=_s(x₁(t), …, x_k(t), z₁(t), …, z_r(t))

t=1, 2, …

Для построения канонических уравнений автомата A необходимо для данной булевой функции найти минимальную ДНФ (дизъюнктивную нормальную форму), которая, вообще говоря, определяется неоднозначно. Аналитический алгоритм построения этой ДНФ следующий:

1. Для данной функции f(x₁, …, x_n) строим свершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ).

2. В построенной СКНФ раскрываем скобки, используя правило:

(АВ)(СD)=ACBCADВD.

3. Полученное выражение упрощаем, применяя тождества вида:

K₁K₂K₁=K₁, KK=K, K0=K, K=0,

K1=1, K1=K, KK=K, K=1.

В результате получим сокращенную ДНФ, являющуюся дизъюнкцией всех простых импликат данной функции f(x₁, …, x_n).

Для рассмотренных выше примеров автоматов канонические уравнения задаются следующими формулами:

пример 1: t=1, 2, …

пример 2: t=1, 2, …

пример 3: t=1, 2, …

пример 4: t=1, 2, …

В качестве иллюстрации изложенного выше алгоритма рассмотрим пример 3.

Таблица истинности системы булевых функций следующая:

x1	x2	z		
0	0	0	0	0
0	0	1	1	1
0	1	0	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	1	1
1	0	1	1	1
1	1	0	0	0
1	1	1	1	1

1. Строим СКНФ функции (x₁, x₂, z). Так как эта функция задана набором своих значений =01111101, то ее СКНФ будет иметь вид (x₁x₂z)(z).

2. Раскрываем скобки: (x₁x₂z)(x₁x₂z)(x₁x₂z)z=

=x₁x₂zx₁x₂zx₁zx₂zzz.

Упрощаем последнее выражение:

0x₂z0zx₁zx₂zz=

=x₂x₁z(x₂)z(x₁)z=x₂x₁z.

Таким образом, получим z(t+1)=(t)x₂(t)x₁(t)(t)z(t).

Аналогично строится функция y(t). При этом из таблицы истинности выписываем набор значений функции (x₁, x₂, z): =01111101, который совпадает с набором значений функции (x₁, x₂, z).