Элементы теории автоматов

1. Понятие конечного автомата

Теория автоматов представляет собой раздел дискретной математики, изучающий модели преобразователей дискретной информации. Такими преобразователями являются как реальные устройства (компьютеры, живые организмы), так и воображаемые устройства (аксиоматические теории, математические машины). По сути конечный автомат можно охарактеризовать как устройство М, имеющее входной и выходной каналы при этом в каждый из дискретных моментов времени, называемых тактовыми моментами, оно находится в одном из конечных состояний.

По входному каналу в каждый момент времени t=1, 2, ... в устройство М поступают входные сигналы (из некоторого конечного множества сигналов). Задается закон изменения состояния к следующему моменту времени в зависимости от входного сигнала и состояния устройства в текущий момент времени. Выходной сигнал зависит от состояния и входного сигнала в текущий момент времени (рис. 1).

Конечный автомат является математической моделью реальных дискретных устройств по переработке информации.

Конечным автоматом называется система А=(X, Q, Y, , ), где X, Q, Y — произвольные непустые конечные множества, а  и   функции, из которых:

1. множество X={a₁, ..., a_m} называется входным алфавитом, а его элементы — входными сигналами, их последовательности — входными словами;

2. множество Q={q₁, ..., q_n} называется множеством состояний автомата, а его элементы — состояниями;

3. множество Y={b₁, ..., b_p} называется выходным алфавитом, его элементы — выходными сигналами, их последовательности — выходными словами;

4. функция : XQQ называется функцией переходов;

5. функция :XQY называется функцией выходов.

Таким образом, (x, q)Q, (x, q)Y для xX, qQ.

С конечным автоматом ассоциируется воображаемое устройство, ко­торое работает следующим образом. Оно может находиться в состоянии из множества Q, воспринимать сигналы из множества X и выдавать сигналы из множества Y.

2. Способы задания конечного автомата

Существует несколько эквивалентных способов задания абстрактных автоматов, среди которых можно назвать три: табличный, геометрический и функциональный.

2.1.Табличное задание автомата

Из определения автомата следует, что его всегда можно задать табли­цей с двумя входами, содержащей т строк и п столбцов, где на пересечении столбца q и строки а стоят значения функций (a_i, q_j), (a_i, q_j).

q a	q1	…	qj	…	qn
a1	(a1, q1), (a1, q1)	…	(a1, qj), (a1, qj)	…	(a1, qn), (a1, qn)
…	…	…	…	…	…
ai	(ai, q1), (ai, q1)	…	(ai, qj), (ai, qj)	…	(ai, qn), (ai, qn)
…	…	…	…	…	…
am	(am, q1), (am, q1)	…	(am, qj), (am, qj)	…	(am, qn), (am, qn)

2.2. Задание автомата диаграммой Мура

Другой способ задания конечного автомата — графический, то есть с помощью графа. Автомат изображается в виде помеченного ориентированного графа Г(Q, D) с множеством вершин Q и множеством дуг D={(q_j, (a_i, q_j))| q_jQ, a_iX}, при этом дуга (q_j, (a_i, q_j)) помечается парой (a_i, (a_i, q_j)). Таким образом, при этом способе состояния автомата изображают кружками, в которые вписывают символы состояний q_j (j=1, …, n). Из каждого кружка проводится т стрелок (ориентированных ребер) взаимно-однозначно соответствующих символам входного алфавита X={a₁, ..., a_m}. Стрелке, соответствующей букве a_iX и выходящей из кружка q_jQ, приписывается пара (a_i, (a_i, q_j)), причем эта стрелка ведет в кружок, соответствующий (a_i, q_j).

Полученный рисунок называется графом автомата или, диаграммой Мура. Для не очень сложных автоматов этот способ более нагляден, чем табличный.