2.3. Открытые, замкнутые, компактные множества

Множество вида

U_(x₀) = {xEⁿ ρ(x, x₀) < }

называют открытым шаром радиуса  с центром в точке x₀Eⁿ или - окрестностью точки x₀ (рис 2.7, a). Аналогично определяется замкнутый шар Ū_(x₀) (рис. 2.7, б) как множество точек xEⁿ, для которых ρ(x, x₀)  , т.е.

Ū_(x₀) = {xEⁿ ρ (x, x₀)  }.

Точку xE (EEⁿ) называют внутренней точкой множества E, если найдется такое   0, что U_(x)  E, т.е. если точка x принадлежит множеству E вместе со своей некоторой окружностью (рис. 2.8, а). В этом случае, когда каждая точка множества E является внутренней, это множество называют открытым множеством, например, U_(x₀).

а б

U_(x₀) Ū_(x₀)

Рис. 2.7. Открытый (а) и замкнутый (б) шар

Точку пространства Eⁿ называют граничной точкой множества EEⁿ, если в ее окрестности любого радиуса   0 имеется хотя бы одна точка из E и хотя бы одна точка, не принадлежащая E (рис. 2.8, б). Совокупность граничных точек множества образует его границу. Множество, включающее свою границу, называют замкнутым множеством.

Изолированная точка xE имеет окрестность, в которую не входят никакие другие точки множества E кроме самой точки x (рис. 2.8, в). Множество, содержащее только изолированные точки, называют дискретным множеством, и оно обязательно бывает либо конечным, либо счетным.

Крайняя точка не может находиться на отрезке, соединяющем какие- либо две точки x₁, x₂ из E (рис. 2.8, г). Крайняя точка является одновременно и граничной, но обратное утверждение неверно.

Рис. 2.8. К понятию внутренняя (а), граничная (б), изолированная (в) и крайняя (г) точки

Окрестностью произвольной точки x₀Eⁿ называется любое множество О Eⁿ, содержащее открытый шар U_(x₀),   0. Окрестность О является множеством всех таких x, расстояние которых от x₀ меньше некоторой малой положительной величины . В частности, О может быть задано неравенством

x_{j -}- x_оj  ,

где x_j – координаты x0; x_0j – координаты x₀ (j = 1:n);  – некоторое положительное число (рис. 2.9).

Рис. 2.9. К понятию окрестности

Любое подмножество Н множества Eⁿ является ограниченным, если оно содержится в каком либо замкнутом шаре Ū_(x₀). В этом случае диаметром множества Н называется точная верхняя граница расстояний между принадлежащими ему точками.

Замкнутое и ограниченное множество называют компактным множеством или компактом. Примеры компактов: конечное множество точек в Eⁿ; замкнутый шар, т.е. множества вида

{xEⁿ ρ(x, x₀)  }.

Гиперплоскость не является компактом, так как для нее не выполняется требование ограниченности.

2.4. Выпуклые множества

Множество может быть выпуклым, строго выпуклым и невыпуклым. Множество AEⁿ называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками x₁ и x₂ содержит отрезок, соединяющий эти точки (рис. 2.10, а), т.е.

[x₁x₂]А,

где

[x₁x₂]={xEⁿ x = x₁+(1-) x₂, 0  1}.

Выпуклое множество А называется строго выпуклым, если для любых x₁, x₂ А, x₁ ≠ x₂, и любого (0,1) точка х_ = x₁+(1-)x₂int А. Граница строго выпуклого множества не может содержать отрезки прямых или куски плоскостей (рис. 2.10, б).

Рис. 2.10. Выпуклое (а), строго выпуклое (б), невыпуклое (в) множество

Рассмотренные выше полупространства являются выпуклыми множествами. Проверим, например, выпукло ли полупространство Н⁺_ab{xEⁿ a,x  b}. Для этого рассмотрим две произвольные точки x₁ и x₂ этого полупространства. Для этих точек выполнены неравенства

a, x₁  b, a, x₂  b.

Сложим эти два неравенства, предварительно умножив первое на произвольное число [0,1], а второе на (1- ). В результате получим неравенство

a,x₁ + (1-) a,x₂ = a,x₁ + (1-)x₂  b.

Поскольку  произвольно, весь отрезок, соединяющий выбранные точки, принадлежит данному полупространству. Следовательно, полупространство действительно является выпуклым множеством.