8.5. Метод барьерных функций

Этот метод был предложен Фиакко и Мак-Кормиком и назван ими методом последовательной безусловной минимизации. Этот метод предназначен для решения задач нелинейного программирования в форме неравенств:

¦(x) ® min ; x Î X Ì E ⁿ , (8.32)

g_i(x) < 0 , i = 1:m. (8.33)

Неравенство (8.33) запрещает присутствие в задании множества X ограничений-равенств. На множестве Х определим функцию B(x) , которая называется барьерной функцией. Барьерные функции могут быть двух типов.

В первом типе используется так называемая обратная функция:

B(x) = - [g_i(x)]^-1, (8.34)

определенная всюду, за исключением границы допустимой области.

Во втором типе используется логарифмическая функция вида

B(x) = - ln [-g_i(x)], (8.35)

определенная только внутри допустимой области. Она неограниченно возрастает при приближении к границе допустимой области.

Составим функцию

¦(x, k) = ¦(x) + B(x).

Штрафная добавка B(x) к целевой функции ¦(x) образует как бы барьер, препятствующий выходу из допустимой области в процессе оптимизационного поиска.

Метод заключается в следующем. Выбирается последовательность постоянных {k_i}, k_i ® ¥ . Решается соответствующая последовательность задач минимизации без ограничений, в результате чего определяется последовательность минимальных точек {x^(k)*}. При определенных условиях такая последовательность {x^(k)*} существует и точка минимума x^* задачи с ограничениями получается в виде предела.

, ¦^*» ¦(x^(k)).

Поскольку все точки последовательности {x^(k)} лежат в допустимой области, метод барьерных функций называют методом внутренней точки.

Пример 8.7. Решить задачу

¦(x) = x ® min,

-x + 2 £ 0

методом барьерных функций, используя в качестве В(x) = -1/g_i(x).

Решение. Обобщенная функция будет иметь вид

¦(x, k) = x + . (8.36)

Y

¦₁(x)

A₁

5

4

¦₁₀₀(x)

3

A₂

8. A

1

x^* x⁽¹⁰⁰⁾ x⁽¹⁾

1 2 3 4 5 X

Рис. 8.8. Графическая иллюстрация задачи

Область ограничений лежит справа от вертикальной прямой x = 2 (рис. 8.8). Начиная из произвольной точки допустимого множества, например x⁽⁰⁾ = 5, найдем решение ¦ (x, k) при различных k. Вычислим производную

d¦(x, k)/dx = 1 – 1/(k (x-2)²) = 0.

Откуда

k (x-2)² – 1 = 0,(x-2)² = , x = 2 + . (8.37)

Решая (8.37) при k=1; 9; 100, получим соответственно x^(1)* = 3, x^(9)* = 2,3, x^(100)* = 2,1 (табл. 8.2).

Таблица 8.2.

Оптимальные значения функции (8.36)

k	x	¦(x,k)
1	3	4
9	2,3	2,67
100	2,1	2,2

Нетрудно видеть, что последовательность точек A₁, A₂, A₃ стремится к A - минимуму функции при наличии ограничений.

d²¦(х, k)/dx² = 2 /[k (x-2)³] и минимум достигается при x = 2 + . Тогда A₁ есть точка с координатами (3; 4), A₂ – точка с координатами (2,3;2,67), A₃ – точка с координатами (2,1;2,2). Ясно, что при k ® ¥ x^(k)* = 2.