7.5. Задача квадратичного программирования

Методом квадратичного программирования решаются задачи, в которых функция f(x) является вогнутой квадратичной функцией, а ограничения задачи представляют собой линейные функции.

Задача, состоящая в определении максимального (минимального) значения функции

(7.37)

при ограничениях

(7.38)

х_j ≥ 0, j = 1:n, (7.39)

где − линейная часть функции f(x), − отрицательно (положительно) − полуопределенная квадратичная форма, называется задачей квадратичного программирования.

Для сформулированной задачи квадратичного программирования запишем функцию Лагранжа в виде

Если функции f(x), g_i(x), i = 1:m при всех х ≥ 0 непрерывно дифференцируемы, то имеет место теорема Куна − Таккера. На основании этой теоремы точка минимума х* целевой функции f(x) из (7.37) на допустимом множестве Е (7.38), (7.39) может быть найдена как решение следующей системы уравнений с дополнительными переменными их_n+i (i = 1:m). Вводя эти переменные, обращающие неравенства (7.31) и (7.34) в равенства, перепишем выражения (7.31)…(7.36) следующим образом:

(7.40)

(7.41)

(7.42)

(7.43)

(7.44)

Таким образом, чтобы найти решение задачи квадратичного программирования (7.37)…(7.39) при условии, что находится максимум функции (7.37), нужно определить неотрицательное решение систем линейных уравнений (7.40), (7.41), удовлетворяющие условиям (7.42) и (7.43). Это решение можно найти с помощью метода искусственного базиса, позволяющего найти одну из угловых точек множества, заданного условиями (7.40), (7.41) и (7.44).

При реализации метода искусственного базиса следует учитывать и условия (7.42), (7.43), т.е. не включать в базисные одновременно переменные λ_i и х_n+i с одним и тем же индексом i и переменные х_j, с одинаковым номеромj.

Алгоритм решения.

1. Составить функцию Лагранжа.

2. Составить систему уравнений на основе необходимых условий существование седловой точки:

3. Ввести в ограничения дополнительные переменные µ ≥ 0, х_n+i ≥ 0.

4. С помощью алгоритма симплекс - метода решить задачу линейного программирования при ограничениях (7.40), (7.41) и (7.44).

5. Записывают оптимальное решение исходной задачи и находят значение целевой функции.

В правой части ограничений могут быть как отрицательные, так и положительные компоненты. При решении задачи симплекс - методом правые части системы ограничений должны быть неотрицательными числами, потому вводятся искусственные переменные х_s в те уравнения, которые не содержат базисных переменных.

Пример. 7.4. Найти

f(x)=-2x₁-6x₂+ → min

2x₁+2x₂12

x₁+2x₂7

x₁,x₂0

Решение. Функция –f(x) = 2x₁+6x₂-x является не строго вогнутой f₁ = 2; f₂ = 6 − 2x₂; f₁₁ = 0; f₁₂ = 0; f₂₁ = 0; f₂₂ = −2, в матрице Гессе главные миноры равны: М₁=0 (или М₁=-2), М₂=0.

Составим функцию Лагранжа:

f(x,λ) = 2x₁+6x₂-.

Определим необходимые условия существования седловой точки

Преобразуем неравенства в равенства

Добавим базисные переменные х₅, х₆ в первые два уравнения и решим следующую задачу

Вспомогательную целевую функцию (7.45) выразим через свободные переменные с помощью уравнений (7.46), (7.47)

Составляем симплекс − таблицу. На 1-й итерации нельзя ввести в базис, так как в нем находятсях₅, х₆, имеющие одинаковый индекс i (). Вводимх₂

	х1	х2	λ1	λ2	µ1	µ 2
х5	0	0	2	1	-1	0	2
х6	0	2	2	2	0	-1	6
х3	2	2	0	0	0	0	12
х4	1	2	0	0	0	0	7
	0	-2	-4	-3	1	1	-8

↑

На 2-й итерации вводим х₁, на 3-ей итерации .

	х1	х6	λ1	λ2	µ1	µ 2
х5	0	0	4	2	-2	0	4
х2	0	1	2	2	0	-1	6
х3	4	-2	-4	-4	0	2	12
х4	2	-2	-4	-4	0	2	2
	0	2	-4	-2	2	0	-4

	х1	х6	λ1	λ2	µ1	µ2
х5	0	0	2	1	-1	0	2
х2	0	½	1	1	0	-1/2	3
х3	2	-1	-2	-2	0	1	6
х4	1	-1	-2	-2	0	1	1
	0	1	-2	-1	1	0	-2

	х4	х6	λ1	λ2	µ1	µ2
х5	0	0	2	1	-1	0	2
х2	0	½	1	1	0	-1/2	3
х3	-2	1	2	2	0	-1	4
х1	1	-1	-2	-2	0	1	1
	0	1	-2	-1	1	0	-2

На 4-й итерации получим ответ, так как все p_j > 0.

	х4	х6	λ1	х5	µ1	µ2
λ2	0	0	2	1	-1	0	2
х2	0	½	-1	-1	1	-1/2	1
х3	-2	1	-2	-2	2	-1	0
х1	1	-1	2	2	-2	1	5
	0	1	0	1	0	0	0

т.е. иmin .

.