7.3. Задачи выпуклого программирования

Рассмотрим задачу нелинейного программирования:

, (7.27)

, (7.28)

, , (7.29)

где f и – некоторые функции n переменных . Эта задача от рассмотренных ранее задач условием,, которое добавлено из соображений удобства. В практических задачах, как правило,или.

Для решения сформулированной задачи в такой общей постановке не существует универсальных методов. Однако для отдельных классов задач, в которых сделаны дополнительные ограничения относительно свойств функций и , разработаны эффективные методы их решения. В частности, ряд таких методов имеется для решения задач нелинейного программирования (7.27)…(7.29) при условии, что f – вогнутая (выпуклая) функция и область допустимых решений, определяемая ограничениями (7.28)…(7.29), – выпуклая.

Введем нормальную функцию Лагранжа вида:

, (7.30)

Нормальная функция Лагранжа проще функции Лагранжа, удобнее для вычислений. Однако правило для нее не всегда верно. Путь функции f(x), g(x) определены, непрерывны и дифференцируемы на . Еслих* – точка условного относительного минимума, то найдется нулевой вектор такой, что

.

Решения задачи (7.27)…(7.29) тесно связаны с седловыми точками функции Лагранжа.

Определение 1. Точка , гденазывается седловой точкой функции Лагранжа (7.21), если при всех x выполняется неравенства:

График некоторой функции, имеющей седловую точку, где x и λ – скаляры, изображены на рис. 7.7. Седловая точка функции является результатом ее минимизации по x и максимизации по .

Таким образом, если зафиксировать равным λ* и рассматривать как функцию толькоx, то х* будет точкой глобального минимума. Аналогично, если рассматривать эту функцию как функцию от при фиксированномx, равном х*, то λ* будет точкой глобального максимума.

Рис. 7.7. График функции, имеющей седловую точку

Лемма. Пара векторов приявляется седловой точкой функции Лагранжа тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

или

.

Теорема 7.3. (достаточное условие оптимальности). Если пара векторов , где , является седловой точкой функции Лагранжа, то х*– точка глобального минимума в задаче (7.27)…(7.29) и выполнены условия дополняющей нежесткости .

В соответствии с теоремой 7.3, если удается найти седловую точку функции Лагранжа (7.30), тем самым будет решена задача (7.27)…(7.29). Теоретически такой подход безупречен. Однако его практическая реализация возможна не всегда. Дело в том, что если функция f, g не выпуклы, то функция Лагранжа часто не имеет ни одной седловой точки. Более того, даже если указанные функции и множество выпуклы и оптимальное решение задачи (7.27)…(7.29) существует, то в некоторых «вырожденных» случаях функция Лагранжа также может не обладать ни одной седловой точкой.

Условия, при выполнении которых хотя бы одна седловая точка функции Лагранжа всегда существует, сформулированы в следующем утверждении.

Теорема 7.4. (существования седловой точки) (Куна-Таккера). Предположим, что множество выпукло, функциивыпуклы на нем и имеют условие Слейтера: найдется такая точка , что < 0, i = 1: m. Пусть– точка глобального минимума в задаче(7.27)…(7.29). Тогда найдется такой вектор , что параобразует седловую точку функции Лагранжа, т.е. для всех и x выполняются неравенства:

.

Условие Слейтера исключает присутствие в задаче ограничений типа равенств. Это условие означает, что среди точек множества D найдется хотя бы одна, в которой все ограничения являются неактивными.

Если предположить, что целевая функция f и функция непрерывно дифференцируемы, то теорема Куна-Таккера может быть дополнена аналитическими выражениями, определяющими необходимые и достаточные условия того, чтобы точкабыла седловой точкой функции Лагранжа, т.е. являлась решением задачи выпуклого программирования. Эти выражения имеют вид:

(7.31)

(7.32)

(7.33)

(7.34)

(7.35)

(7.36)

где и – значения соответствующих частных производных функции Лагранжа, вычисленных в седловой точке.

Всем отмеченным выше требованиям, позволяющим записать необходимые и достаточные условия для седловой точки функции Лагранжа в виде указанных выражений, удовлетворяет сформулированная ниже задача квадратичного программирования.