Алгоритм решения задачи

Шаг 1. Составить обобщенную функцию Лагранжа:

L(x, λ, λ₀) = ₀ (x) + _i g_i(x) + _i g_i(x)

Шаг 2. Записать необходимые условия минимума (максимума) первого порядка:

1. ;

2. ;

3. , (для минимума), ,(для максимума);

4. .

Шаг 3.Решить систему для двух случаев:

1. ;

2. (при этом поделить условия, стоящие выше, т.е.1), 3), 4), наи заменить). В результате найти условно-стационарные точких*, выделив из них полученные при(они могут быть регулярными точками экстремума). В каждом из двух случаев следует начинать с рассмотрения 2^m-lвариантов удовлетворения условия «г» дополняющей нежесткости.

Шаг 4. Для выделенных на шаге 3 точек проверить достаточные условия экстремума первого или второго порядка.

Для проверки достаточных условий первого порядка следует:

1. определить число kограничений-равенств и активных ограничений неравенств;

2. если k=n и>0 для всех, т.е. для всех активных ограничений-неравенств, то в точке– локальный минимум. Еслиk=nи<0 для всех, то в точкех*– локальный максимум. Еслиk<nили соответствующие множители Лагранжа не удовлетворяют достаточным условиям первого порядка, проверить достаточные условия второго порядка.

Для проверки достаточных условий второго порядка следует:

1. записать выражение для второго дифференциала классической функции Лагранжа в точке:

;

2. записать условия, накладываемые на первые дифференциалы ограничений-равенств и активных в точке ограничений -неравенств:

,и, λ_i* > 0 (λ_i* < 0), (7.26)

,,λ_i* = 0;

3. исследовать знак второго дифференциала функции Лагранжа для ненулевых , удовлетворяющих (7.26). Если>0, то в точкех* – условный локальный минимум. Если<0, то в точкех* – условный локальный максимум. Если достаточные условия экстремума не выполняются, следует проверить выполнение необходимых условий второго порядка, следуя аналогичной процедуре. Если они выполняются, то требуется дополнительное исследование, а если нет, то в точкенет условного экстремума.

Шаг 5.Вычислить значение функции в точках условного экстремума.

Условия экстремума в задаче (7.17)…(7.19) приведены в табл. 7.1, 7.2.

Таблица 7.1

Необходимые и достаточные условия первого порядка в задаче поиска условного

экстремума при смешанных ограничениях

Необходимые условия первого порядка					Достаточные условия первого порядка
№ п/п				λ0*≥0, λi*	Число l огра-ничений-равен-ств и активных ограничений-неравенств		Тип условно-стационарной точки
1	0	0	≤0	≤0	N	>0	Условный локаль-ный минимум
2	0	0	≤0	≤0	N	<0	Условный локаль ный максимум

Таблица 7.2

Необходимые и достаточные условия второго порядка в задаче поиска условного

экстремума при смешенных ограничениях.

№ п/п						Тип условно-стационарной точки
1	>0	0,	0,		≤0	Условный локальный минимум
2	<0	0,		0,	≤0	Условный локальный максимум
3	≥0	0	0		≤0	Может быть условный локаль-ный минимум, требуется дополнительное исследование
4	≤0	0		0	≤0	Может быть условный локальный максимум, требуется дополнительное исследование
5	=0	0	0		≤0	Требуется дополнительное исследование
6	=0	0		0	≤0	Требуется дополнительное исследование
7	≠0	0	0		≤0	Нет эктремума
8	≠0	0		0	≤0	Нет экстремума

Пример 7.3. Найти условный экстремум в задаче.

Решение.

1. Составим обобщенную функцию Лагранжа:

.

2. Выпишем необходимые условия экстремума первого порядка:

1) ,;

2) ,;

3) (для минимума),(для максимума);

4) .

3. Решить систему для двух случаев.

В первом случае . Тогдаи, что противоречит теореме 7.1.

Во втором случае . Поделим уравнения системы, приведенной в п.2, на λ₀, заменяяна λ₁ина λ₂. Условие 1) записывается в форме:

,.

Остальные соотношения сохранят свой вид. Рассмотрим варианта удовлетворения условия 4) дополняющей нежесткости:

1) . Тогда. Из ограничений следует, а из условия 1). Имеем условно-стационарную точкуА:,,,, в которой удовлетворяются необходимые условия и минимума, и максимума.

2) . Тогда.

Получаем условно – стационарную точку В: , в которой удовлетворяют необходимые условия максимума.

3)Проверим достаточные условия экстремума.

Исследуем точку А: Ограничение неравенства не является активным. Поэтому и достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим условия второго порядка: . Так как ограничение в точке А пассивно, то ипри. Следовательно, в точкеА – условный локальный минимум (строка 1 в табл. 7.2). С другой стороны, целевая функция задачи выпуклая. Поэтому в точке А достигается глобальный минимум, а достаточные условия второго порядка можно было не проверять. Если бы искался экстремум функции , то функция «-f(x)» была бы выпуклой, а в точке А достигался бы глобальный максимум.

Исследуем точку В. Ограничение , то в точкеВ выполняется достаточно условие максимума первого порядка (строка 2 в табл. 7.1) и она является точкой локального максимума. Из методических соображений проверим достаточное условие второго порядка: . В точкеВ ограничение активно: . Отсюда и . Поэтому требуется дополнительное исследование (строка 6 в табл.7.1). На рис. 7.6 видно, что в точке В – условный локальный максимум, так как при приближении к точке В вдоль множества Х функция возрастает, а при движении от точки В убывает. Это подтверждает сделанный ранее вывод.

Рис. 7.6. Графическая иллюстрация примера 7.3

5. Значение функции в точках экстремума: (см. рис. 7.9).