Симплекс-таблица задачи 6.9

	x1	x2
x3	1	2	7
x4	2	1	8
x5	0	1	3
	-3	-3	0

6.2.3. Описание симплекс-метода

Из анализа коэффициентов в условиях задачи (6.23)…(6.25) (или в соответствующей симплекс-таблице) можно сделать одно из следующих трех утверждений:

Теорема 6.7.Если в выражении (6.23) все коэффициенты, то в угловой точке (6.21) достигается минимум целевой функциина допустимом множествеXи этот минимум равен.

При любом значениес учетом (6.23) может лишь увеличиваться по сравнению с.

Теорема 6.8.Если среди отрицательных коэффициентов, в (6.23) есть такой, например,, что в (6.24) все коэффициенты, то минимум целевой функциина допустимом множествеXне достигается, т.е. задача (6.23)…(6.25) не имеет решений.

Положим значения всех свободных переменных, кроме , равными нулю. Тогда из уравнений (6.24) получаем решение

, (6.27)

где . (6.28)

Оно является допустимым, поскольку все . При этом с учетом (6.23).

Поэтому, так как , целевая функция неограниченно убывает с ростом, т.е. целевая функцияне ограничена снизу, а, следовательно, не имеет решения.

Замечание. Ситуация, описанная в теореме 6.8 возможна, если допустимое множество Xзадачи не ограничено.

Теорема 6.9.Пустьявляется невырожденным допустимым базисным решением задачи (6.23)…(6.25), т.е.Тогда, если хотя бы один из коэффициентовв (6.23), например,, отрицателен () и при этом среди коэффициентовесть хотя бы один положительный, то существует допустимое базисное решениемножестваЕ, для которого.

Положив в (6.24) значения всех свободных переменных, кроме , равными нулю, получим решение (6.27), (6.28) системы уравнений (6.24). По условию теоремы среди коэффициентовесть положительные, поэтому с увеличениемможет произойти нарушение условий неотрицательности (6.25) для соответствующих переменныхиз выражений (6.28). Найдем ту из них (), которая раньше всех обратиться в нуль при возрастании. С учетом (6.28) номерqнаходится из условия

(6.29)

где минимум берется по всем номерам , для которых.

Полагая в (6.27), (6.28) равным, получаем решение

(6.30)

где . (6.31)

Очевидно, что х¹является допустимым базисным решением системы (6.24); оно соответствует базисным переменным. Отметим, что в этом решении переменныех_qи х_kпоменялись ролями:х_qиз базисных переменных перешла в свободные, ах_k– наоборот.

Значение целевой функции (6.23) в точке x¹из (6.30) равно

.

По условию и, следовательно,.

Результаты теорем 6.7 … 6.9 лежат в основе симплекс-метода решения задач линейного программирования. Идея этого метода состоит в следующем.

Если в точке x⁰из (6.21) выполняются условия теоремы 6.7 или 6.8, то решение задачи (6.16)…(6.18) на этом завершается.

Если же для точки x⁰выполнены условия теоремы 6.9, то совершается переход отx⁰к новому допустимому базисному решениюx¹из (6.30), для которогоf(x) уменьшается. Затем в точкеx¹анализ коэффициентов задачи повторяется, и на основании теорем 6.7…6.9 делается одно из трех возможных заключений и т.д.

Так как число допустимых базисных решений задачи (6.16)…(6.18) не превосходит , то случай, описанный в теореме 6.9, может повторяться лишь конечное число раз. Поэтому в результате конечного числа шагов перехода к новому допустимому базисному решению задача будет решена или будет установлена ее неразрешимость.

Таким образом, симплекс – метод представляет собой направленный перебор допустимых базисных решений (угловых точек допустимого множества) задачи линейного программирования с последовательным уменьшением целевой функции.

Найдем канонический вид задачи, соответствующий допустимому базисному решению x¹из (6.30). Считая свободными переменные, т.е. поменяв местами свободную переменнуюс базисной переменнойнайдем решение системы (6.19).

Разделив q- е уравнение из системы (6.24) на, запишем его в виде:

. (6.32)

Выразим из равенства (6.32) переменную и подставим найденные выражения в остальные уравнения системы (6.24) и в формулу (6.23) для целевой функции. В результате получим:

i=1:m, i ≠ q.(6.33)

Зависимость целевой функции от новых свободных переменных примет вид:

. (6.34)

Задача линейного программирования (6.32) … (6.34) имеет канонический вид, соответствующий допустимому базисному решению x¹из (6.30)…(6.31) и может быть записана с помощью симплекс – таблицы. Компоненты нового базисного решенияx¹можно найти, приравняв нулю свободные переменныеих_qи найдя при этом условии значения базисных переменных из (6.32), (6.33).

По знакам коэффициентов в системе (6.32), (6.33) и в выражении для целевой функции (6.34) можно сделать одно из трех приведенных выше заключений, как это было сделано для угловой точки . В случае теоремы 6.9 следует совершить переход к очередной угловой точке, аналогичной переходу отx⁰кx¹, и т.д.

Как указано выше реализация симплекс – метода значительно упрощается при использовании симплекс - таблиц. Записав коэффициенты уравнений (6.19) и целевой функции (6.22) соответствующим образом (см. табл. 6.5), получим симплекс – таблицу задачи для угловой точки из (6.21). Здесь введен для коэффициентовииндекс 0, показывающий, что они относятся к начальной угловой точке.

Рассмотрим переход от симплекс-таблицы, соответствующей угловой точке x⁰(табл. 6.5), к симплекс-таблице для угловой точкиx¹.

Пусть номера qиkопределены так, как это сделано выше. Элемент, а также строка и столбец табл. 6.5, на пересечении которых он стоит, называютсяразрешающимиилиопорными.

Из формул (6.23) и (6.24) следует, что преобразование начальной симплекс-таблицы с опорным элементом (см. табл. 6.5) приводит к новой симплекс-таблице (табл. 6.6), для определения элементов которой необходимо выполнить операции, указанные в нижеприведенном алгоритме.

Таблица 6.5