42

4. Математические модели оптимизации

4.1. Постановка задачи оптимизации

Сама по себе постановка задачи оптимизации проста и естественна: заданы множество Х и функция (x),определённая на X, требуется найти точки минимума или максимума функции  на X. Задачу на минимум запишем в виде:

(4.1)

При этом  будем называть целевой функцией, X – допустимым множеством n - мерного пространства Eⁿ, любой элемент хХ – допустимой точкой (допустимым решением, планом) задачи (4.1). Допустимая точка (допустимое решение), минимизирующая функцию цели, называется оптимальной точкой, точкой экстремума, оптимальным решением или просто решением. Если X совпадает со всем пространством , задача 4.1 называется задачей безусловной минимизации (без ограничений), в противном случае – задачей условной минимизации (с ограничениями).

Ограничения подразделения:

а) на линейные (I, II) и нелинейные (III, IV) (рис. 4.1);

б) детерменированные (А, В) и стахостатические (группы кривых С_j) (рис. 4.2).

Рис. 4.1. Линейные и нелинейные ог- раничения

Рис. 4.2. Детерменированные и стохас- тические ограничения

Стохастические ограничения являются всевозможными, вероятными, случайными.

Необходимо подчеркнуть, что само понятие точки минимума, т.е. решения задачи (4.1), неоднозначно и требует уточнения.

Точка х*Х называется:

1) точкой глобального минимума функции  на множестве Х или глобальным решением задачи (4.1), если

(х), при хХ; (4.2)

2) точкой локального минимума  на Х или локальным решением задачи (4.1), если существует число такое, что

(х), при всех ; (4.3)

где – замкнутый шар радиуса с центром вх*.

Рис. 4.3. Произволная кривая Рис. 4.4. Одномерные унимодаль-

с двумя локальными (х₁*, х₂*)и ные функции

одним глобальным (х₃*) минимумами

Таким образом, глобальный минимум – это наименьший из всех локальных минимумов. На рис. 4.3 показаны точки локальныхи глобальногоминимумов для произвольной кривой(x).

Задача оптимизации, в которой критерий оптимальности (x) имеет в области Х единственный локальный минимум, называется одноэкстремальной (унимодальной) задачей оптимизации. Простейшими из унимодальных функций являются выпуклые функции (рис. 4.4, а). На рис. 4.4 приведены примеры унимодальных одномерных функций.

Задача оптимизации, в которой критерий оптимальности (х) имеет несколько локальных минимумов, называется многоэкстремальной задачей оптимизации.

Обычные методы решений много экстремальных задач обеспечивают нахождение лишь отдельной особой точки, в которой частная производная . Такой точкой в зависимости от случайных обстоятельств (выбор начального приближения) может быть любой из локальных минимумов или точка перегиба. В связи с этим существенное значение имеет исследование условий, при которых решение обеспечивает нахождение глобального минимума.

Если неравенство в (4.2) или (4.3) выполняется как строгое при х  х*, то говорят, что х* – точка строгого минимума (строгое решение) в глобальном или локальном смысле. Ясно, что глобальное решение является и локальным; обратное неверно.

Для отражения того факта, что точка х*Х является точкой глобального минимума функции  на Х, будем использовать запись:

или эквивалентная ей запись

.

При этом говорят, что точка х* реализует величину ,т.е. минимальное значение функции  на Х. Множество всех точек глобального минимума  на Х обозначим через

.

Таким образом, arg min(x) – это просто произвольная точка из множества –.

При необходимости задачу минимизации можно заменить задачей максимизации или наоборот. Это объясняется тем, что минимум функции равен максимуму функции -, взятому с противоположным знаком, и достигаются оба эти экстремума при одних и тех же значениях переменных (рис. 4.5). В точке х* min(x*)= -max(-(x*)) .

y=(x)

} min(x)

0 max(x){x*. х

y= -(x)

Рис. 4.5. К постановке задачи оптимизации

Таким образом, если, например, задачу минимизации функции f(x₁, x₂,…, x_n) при каких-либо ограничениях требуется заменить задачей максимизации, то достаточно вместо f(x₁, x₂,…, x_n) взять в качестве целевой функцию - f(x₁, x₂,…, x_n), найти максимум этой функции и заменить его знак на противоположный. Полученное значение будет оптимумом исходной задачи. По анологии с (4.1) будем записывать задачу максимизации функции  на множестве Х в виде:

, х  Х (4.4)

Решения задач (4.1) и (4.4), т.е. точки минимума и максимума функции  на Х называют также точками экстремума, а сами задачи (4.1) и (4.4) – экстремальными задачами.