5.2.2. Метод Ньютона – Рафсона

Метод Ньютона часто используется на завершающем этапе минимизации, когда x – точка минимума грубо найдена другим, менее трудоемким методом и требуется найти xс большой точностью. Кроме того, если функция(x) содержит члены, включающие x в третьей и более высоких степенях, то непосредственное получение аналитического решения уравнения (x) = 0 может оказаться затруднительным. В таких случаях используются приближенные методы последовательного поиска стационарной точки функции (x). Ньютон разработал схему, ориентированную на нахождение корня нелинейного уравнения, которая позднее была уточнена Рафсоном.

В рамках схемы Ньютона – Рафсона предполагается, что (x) – дважды дифференцируемая функция, причем (x) > 0 (это гарантирует выпуклость (x)). Работа алгоритма начинается в точке x, которая представляет начальное приближение координаты стационарной точки, или корня уравнения(x) = 0. В очередной точке x (k = 0,1,…) строится линейная аппроксимация функции (x), и точка, в которой аппроксимирующая линейная функция обращается в нуль, принимается в качестве следующего приближения x(рис. 5.10). Если точкаxпринята в качестве текущего приближения к стационарной точке, то уравнение к







асательной к графику точкеx = x имеет вид

y = (x) + (x)(x - x).

Точка x = x, найденная из условия y = 0, определяется формулой

x= x- (x)/(x).

Полагая (x) = (x), тогда для решения уравнения (x) = 0 необходимо построить последовательность

x= x- , k = 0,1,…, (5.10)

где x – точка, выбранная в качестве начального приближения.

Рис. 5.10. Метод Ньютона – Рафсона (сходимость)

В зависимости от выбора начальной точки и вида функции алгоритм может, как сходиться к истинной стационарной точке, так и расходиться, что отражено на рис. 5.11. Если начальная точка расположена правее x, то получаемые в результате последовательных приближений точки удаляются от стационарной точки x.

Рис. 5.11. Метод Ньютона – Рафсона (отсутствие сходимости)

Оценка скорости сходимости может быть сформулирована следующим образом. Пусть (x) – дважды дифференцируемая на Eфункция, причем(x)   > 0 при всех xE и (x) удовлетворяет условию Липшица на X с константой L. Тогда, если начальное приближение xудовлетворяет условию

q = < 1,

то последовательность (5.11) сходится к единственной точке минимума x функции (x) на X, причем

q, k = 0,1,…

Вычисления по формуле (5.10) производят до тех пор, пока не выполнится неравенство (x)  , после чего полагают x x, (x).

Пример 5.5. Рассмотрим следующую задачу: минимизировать

(x) = 2x+ (16/x),  = 0,05.

Для того чтобы определить стационарную точку функции (x), воспользуемся методом Ньютона – Рафсона, положив x = 1:

(x) = 4x - (16/x), (x) = 4 + (32/x).

И т е р а ц и я 1. x = 1, (x) = -12, (x) = 36, x = 1-(-12/36) = 1,33.

И т е р а ц и я 2. x = 1,33, (x) = -3,73, (x) = 17,6, x =1,33- = 1,54.

И т е р а ц и я 3. х₃ = 1,54, ,

, .

И т е р а ц и я 4. ,,

, .

И т е р а ц и я 5. .

Так как , то,.