х	у	ху	х	у			ху	у	х
0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0	1	0	0
1	0	1	1	0	0	1	0	0	1	1
1	1	1	1	1	0	0	1	0	0	0

Сравнивая значения элементарных произведений со значениями функции ху, заключаем, что импликантами этой функции являются в точности х, у, ху, у, х, так как для всех них выполнено условиехуf_, где f_  одна из х, у, ху, у, х(например,хух). Из этих импликант простыми являются толькох и у. Действительно, удаление одной из литеры в импликантах ху, у, хведёт к получению других, а именно х или у. Таким образом, сокращённой ДНФ функции является ху (что, впрочем, следует из определения самой функции).

В качестве другого примера отметим, что всевозможными импликантами функции ху являются у, х, из которых все являются простыми, и, следовательно, сокращённой ДНФ являетсяух.

Ясно, что с помощью таблицы истинности при большом числе переменных построение сокращённой ДНФ становится проблематичной. Существуют специальные методы, позволяющие избегать работы с таблицами истинности. Они основаны на следующих операциях замены подформул, формул, выражающих функции, им эквивалентными подформулами:

АхАА  операция полного склеивания;

АхАААхА операция неполного склеивания;

Ах^АА  операция элементарного поглощения (0, 1)

Упражнение 6.1.Найти сокращённые ДНФ функций из упражнения 5.1.

Решение. а) Применим к СДНФ функции сначала операцию неполного склеивания, а затемэлементарного поглощения:

zyxzzzyxzzy.

В результате получили сокращённую ДНФ функции.

(1) К паре конъюнктов zиxz(точнее, к их дизъюнкции) применили операцию неполного склеивания:zxzz. Больше пар, к которым можно применить эту операцию, нет.

(2) К парам (z,z) и (z,xz) применили операцию элементарного поглощения: zzzи zxzz..

Ответ: zy.

6.3. Минимальная ДНФ. Таблица Квайна. Рассмотрим ещё

Пример 6.2. Пусть функция f(x, y, z) задана совершенной ДНФ f(x, y, z)=zxxy. Производя над ней операции склеивания и элементарного поглощения, получаем её сокращённую ДНФf(x, y, z)=x. Построив её таблицу истинности, можно убедиться, что импликантуможно удалить, то естьf(x, y, z)=x, и сокращённую ДНФ функции можно упрощать дальше, удаляя лишние импликанты.

Определение 2. Тупиковой ДНФ называется ДНФ, которая получается из сокращённой ДНФ удалением всех лишних импликант, не меняя таблицу истинности. Минимальной ДНФ функции называется её тупиковая ДНФ с наименьшим числом вхождений переменных.

Одним из способов получения минимальной ДНФ из сокращённой ДНФ является использование так называемой таблицы Квайна (ТК). Заголовками столбцов ТК являются конституенты единицы СДНФ, а заголовками строк  простые импликанты из сокращённой ДНФ. Таблица заполняется знаками «+» на пересечениях тех строк и столбцов, для которых конъюнкт, стоящий в заголовке строки, входит в конституенту единицы, являющейся заголовком столбца. В тупиковую ДНФ выбирается минимальное число тех простых импликант, знаки «+» при которых охватывают все столбцы ТК.

ТК для функции примера 6.2 имеет вид

		z	x	xy
	+	+
	+		+
x			+	+

Минимальное число простых импликант, знаки «+» при которых охватывают все столбцы, образуют импликанты первой и третьей строки, то есть иx. Поэтомуxявляется МДНФ функции.

Упражнение 6.2.Найти все тупиковые и минимальные ДНФ функций упражнения 5.1.

6.4. Метод Квайна-Мак-Класки. При больших п (порядка 4) метод Квайна становится громоздким. Существует ряд модификаций метода, позволяющих технически упростить данный метод. Опишем один из методов, называемых методом Квайна-Мак-Класки.

Сначала заметим, что при операции склеивания склеиваются элементарные произведения, отличающиеся только одной литерой. Это и положено в основу модификации. Алгоритм метода  следующий:

1. Представим каждую конституенту булевой функции в виде двоичного набора длины п.

2. Сгруппируем наборы так, чтобы в каждую группу попали те и только те наборы, которые имеют одинаковое число единиц, располагая их в порядке возрастания числа единиц.

3. Сравнивая наборы из соседних групп, выделяем пары, отличающиеся только в одной позиции (тем самым выделяем конституенты, отличающиеся только одной литерой).

4. В обоих выделенных наборах пар заменяем отличающиеся символы (0 и 1) на «-» (тем самым из двух различных наборов получаем один и тот же набор из 0, 1 и «-», что соответствует тому, что два одинаковых элементарных произведения склеили по отличающейся литере, при этом знак «-» соответствует тому, что соответствующая литера в полученном элементарном произведении будет отсутствовать).

Если в результате склеивания получается уже имеющийся набор, то результат склеивания (то есть полученный набор) опускается (это соответствует тому, что согласно закона идемпотентности одинаковые элементарные произведения сливаются в одну). Если в результате склеивания получаются наборы, отличающиеся только в одной позиции, причём в соответствующей позиции одного стоит знак «-» (у других  0 или 1), то остальные опускаются (что соответствует элементарному поглощению)

5. После всевозможных склеиваний на очередном этапе, переходим к пункту 2.

Процесс продолжается до тех пор, пока склеивать будет нечего. Простыми импликантами являются те элементарные произведения, которые не участвовали в процессе склейки на очередном шаге.

Пример 6.3. Проиллюстируем метод на примере функции, имеющей систему равенств f(0, 1, 0)=f(0, 1, 1)=f(1, 0, 1)=f(1, 1, 0)=f(1, 1, 1)=1 примера 6.2. Располагать группы и результаты всех шагов удобно в таблице. Кроме того, наборы, участвующие при склейке на очередном шаге, будем как-то помечать, например, знаком «*». Тогда после конечного шага все наборы, не участвовавшие при склейке на очередном шаге, останутся непомеченными.

В

	I шаг	II шаг
010*	01-* -10*	-1-
011* 101* 110*	-11* 1-1 11-*
111*

результате первого шага мы склеили: 1) наборы 010 и 011, получили 01-; 2) наборы 010 и 110, получили -10; 3) наборы 011 и 111, получили -11; 4) 101 и 111, получили 1-1; 5) наборы 110 и 111, получили 11-. Во втором шаге склеиваются: 1) наборы 01- и 11-, получается -1-; 2) наборы -10 и -11, получается -1- (который уже есть). После второго шага склеивать нечего. В итоге непомеченными оказываются -1- и 1-1. Это означает, что соответствующие им элементарные произведенияу и хz являются простыми импликантами функции. Таким образом, сокращённой ДНФ данной функции является ухz.

Заметим, что для удобства в таблице Квайна при обозначении элементарных произведений также удобно использование наборов из 0 и 1. Так, таблица Квайна для нашего примера выглядит следующим образом:

	010	011	101	110	111
-1-	+	+		+	+
1-1			+		+

Из таблицы видим, что полученная сокращённая ДНФ является минимальной, и даже тупиковой.

Упражнение 6.3.Найти все тупиковые и минимальные ДНФ функций упражнения 5.2.

Решение. б) Применяя модификацию метода Квайна, находим сокращённую ДНФ.

	Iшаг	IIшаг
0000*	-000 000-
0001* 1000*	10-0* 1-00*	1--0
0110* 1010* 1100*	011-* -110* 1-10* 11-0*	-11-
0111* 1110*	-111* 111-*
1111*

Она же оказыется тупиковой и минимальной, в чем легко убедиться, построив таблицу Квайна:

	0000	0001	0110	0111	1000	1010	1100	1110	1111
1--0					+	+	+	+
-11-			+	+				+	+
-000	+				+
0001		+

§7. Применение к релейно-контактным схемам.

В этом параграфе мы рассмотрим одно техническое приложение булевых функций, которое оправдывает одно их название  переключательные функции.

Релейно-контактные (переключательные) схемы представляют собой схематическое изображение устройства, состоящее из следующих элементов:

1) переключателей, которыми могут быть механические устройства, электромагнитные реле и т.д.;

2) проводники, соединяющие переключатели;

3) входы в систему и выходы из неё, называемы полюсами.

На входы подаётся электрический сигнал. Переключатели могут быть замкнуты или разомкнуты, и в зависимости от общего состояния переключателей на выходе сигнал может сниматься либо нет.

Простейшая схема состоит из одного переключателя, одного входа и одного выхода. Поставим ему в соответствие высказывание р: «Переключатель замкнут». Если это высказывание истинно, то сигнал, поступающий на вход А, снимается на выходе В. В случае ложного высказывания сигнала на выходе нет. Это означает, что переключатель разомкнут. Такая простейшая схема приведена на рис. 3.

Более сложным высказываниям соответствуют более сложные схемы. Так, можно рассматривать отрицание вышеприведённого высказывания, соответствующее схеме, у которой на выходе сигнала не будет в случае, когда переключатель замкнут.

Конъюнкции p&q ставится в соответствие последовательное соединение двух простых схем (рис.4), дизъюнкции pq  параллельное соединение (рис. 5).

Так как любая формула может быть записана с помощью операции отрицания, дизъюнкции и конъюнкции, то любой формуле соответствует некоторая переключательная схема. Обратно, любой схеме соответствует некоторая схема. Это даёт возможность анализировать произвольную схему, записав её в виде некоторой формулы. Анализ может заключаться, например, в том, будет работать или нет данная схема. Или, нельзя ли упростить её без ущерба работоспособности.

Пример 7.1. Построим преключательную схему для формулы x(yxyx). Очевидно, формулу можно упростить: x(yxyx)~x(y). Поэтому схема имеет вид, изображённый на рис. 6.

Упражнение 7.1.Составить переключательную схему для формул упражнения 3.4.

Упражнение 7.2.Составить переключательные схемы для функций упражнения 5.1.

Упражнение 7.3.Упростить схемы:

a)

б)

в)

г)

Решение. а) Схема имеет следующую формулу ((ху)у(ху))х, упрощая которую, получаем ((ху)у(ху))х~xy. Поэтому в упрощённом виде схема выглядит так:

Взаключение отметим, что с помощью булевых функций можно упрощать не только электрические схемы, но и всё, что может быть по аналогии интерпретировано с помощью булевых функций. Например, системы труб (для воды, нефти, газа) или схемы уличного движения.

Приложение 1

Варианты индивидуальных заданий Вариант 1

1. Составить таблицу истинности формул (xy)(y), (x|)(z). Для СДНФ второй формулы составить переключательную схему и её упрощённый вариант.

2. Проверить двумя способами, будут ли эквивалентны следующие формулы x(yz) и (xy)(xz):

а) составлением таблиц истинности;

б) приведением формул к СДНФ или СКНФ с помощью эквивалентных преобразований.

3. С помощью эквивалентных преобразований приведите формулу (x)() к ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ. Построить полином Жегалкина.

4. Найти сокращённую, все тупиковые и минимальные ДНФ булевой функции f(0, 1, 1)=f(1, 1, 0)=f(1, 0, 1)=0. К каким классам Поста принадлежит эта функция?

5. Найти сокращённую, все тупиковые и минимальные ДНФ булевой функции f(х₁, х₂, х₃, х₄), заданной вектором своих значений (1101 1000 1001 0111).

6. Является ли полной система функций ={xy, y}? Образует ли она базис?

7. С помощью алгебры логики проверить истинность соотношения для любых множеств А, В, С: A(BC)=(AB)C.