§4. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля

4.1. Бином Ньютона (См. также [4], §5.4; [5], §5.3). Из «школьной» математики известны следующие формулы сокращённого умножения:

(a+b)²=a²+2ab+b²,

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³.

Эти формулы обобщаются на произвольную натуральную степень n≥1 числа a+b:

(a+b)=+++…++…+

+++, (4.1)

где k<n.

Докажем эту формулу индукцией по n.

1) При n=1 имеем (a+b)=+ верно (при n=1 слагаемые типа отсутствуют, так как в противном случае они имели бы вид, где k<1).

2) Предположим, формула верна для произвольного n.

3) При n+1 имеем

(a+b)=(a+b)(a+b)=(+++…++…+

+++)(a+b)=+++…+

++…+++a+

+b+++…++…+++=.

Заметим, что в последней сумме присутствуют в точности по две слагаемые вида и, кромеи. Группируя их, получаем

(a+b)=+(+1)+(+)+(+)+…+

+(+)+(+)+…+(+)+

+(1+)a+=.

Теперь, учитывая свойство 3) числа сочетаний и то, что ==1,==1, получаем

(a+b)=+++…++…+

++a+=

=+++…++…+

++a+,

и формула (4.1) при сделанном индуктивном предположении верна при n+1. Следовательно, формула верна для произвольного натурального n≥1.

Формула (4.1) называется формулой бинома Ньютона, а числа сочетаний в связи с этим  биномиальными коэффициентами. Она позволяет вычислить (a+b)при любом натуральномn≥1. Например,

(a+b)²=a²+a^21b+b²=a²+2ab+b²,

(a+b)³=a³+a^31b+a^32b²+b³=a³+3a²b+3ab²+b³,

(a+b)=++++=+4+6+4+,

(a+b)=+++++=

=+5+10+10+5+

и т.д.

4.2 Треугольник Паскаля ([5], §5.3). Вычисление чисел сочетаний , а вместе с ними и биномиальных коэффициентов, с ростомn сопряжено с техническими трудностями. С использованием свойства 3) можно найти числа сочетаний из n+1, зная числа сочетаний из n. Для этого числа последовательно записываются в так называемый треугольник Паскаля:

n
0									1
1								1		1
2							1		2		1
3						1		3		3		1
4					1		4		6		4		1
5				1		5		10		10		5		1
6			1		6		15		20		15		6		1
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

В n-ой строке слева направо стоят значения ,,, …,. Так как , то крайние значения строки равны 1. Каждый некрайний элементтреугольника образуется сложением двух элементов,и, стоящих над ним справа и слева (в силу равенства=+). Например, для получения чисел==15 в строкеn=6 достаточно сложить 5 и 10 в предыдущей строке, так как

15==+=5+10 и 15==+=10+5.

4.3. Упражнение. Продолжить построение треугольника Паскаля до n=15

1Не забывайте, что 0≠{0}, и поэтому равенство 1={0} не должно восприниматься как 1=0.

1Здесь и ниже в угловых скобках мелким шрифтом приводятся комментарии к предшествующим преобразованиям, указанным соответствующим номером в круглых скобках над знаками равенств.

33