§3. Элементы комбинаторики

Комбинаторика  это раздел (дискретной) математики, которая изучает различные комбинации (под)множеств и свойства таких комбинаций.

3.1. Правила суммы, произведения и возведения в степень (См. также [4], §1.4). Определим на множестве мощностей множеств операции сложения, умножения и возведения в степень. Если |A|=a, |B|=b, то a+b|AB|, где AB=, a·b|AB|, a^b|A^B|, где A^B  множество всех функций из B в A: A^B={f | f: BA}.

Можно показать, что при конечных A и B эти операции обладают следующими свойствами.

1. Правило суммы. Если |A|=a, |B|=b, (a и b  натуральные числа), то |AB|=a+b|AB|, причём |AB|=a+b тогда и только тогда, когда AB=.

2. Правило произведения. Если |A|=a, |B|=b, (a и b  натуральные числа), то |AB|=a·b.

3 Правило степени. Если |A|=a, |B|=b, (a и b  натуральные числа), то |A^B|=a^b.

Пример 3.1. Известно, что в классе из 20 учащихся 15 занимаются зимними видами спорта, 10  летними. Известно также, что все ученики класса занимаются спортом. Сколько учащихся занимаются и зимними, и летними видами спорта?

Решение. Пусть A  множество учащихся, занимающихся зимними видами спорта, B  множество учащихся, занимающихся летними видами спорта. Тогда AB  множество учащихся, занимающихся и зимними, и летними видами спорта. Имеем |AB|=20, |A|=15, |B|=10. Тогда из равенства |AB|=|A|+|B||AB| получаем |AB|=|A|+|B||AB|=15+1020=5.

Ответ: 5 учеников.

Пример 3.2. В классе учится 20 учащихся, из которых 9 мальчиков, 11 девочек. Необходимо составить пару «мальчик  девочка» для ведения вечера. Сколько возможных вариантов имеется для этого?

Решение. Пусть A  множество всех мальчиков класса, B  множество всех девочек. Тогда AB  множество всевозможных вариантов пар «мальчик  девочка». Поэтому |AB|=|A|·|B|=9·11=99  число всевозможных вариантов пар.

Ответ: 99 вариантов.

Правила суммы и произведения можно обобщить на произвольное число конечных множеств:

1) Правило суммы. Если A₁, A₂, …, A_k  конечные множества, то

=+…+(1)^k1|A₁A₂…A_k |.

Например, при k=3 получаем

|A₁A₂A₃|=|A₁|+|A₂|+|A₃||A₁A₂||A₁A₃||A₂A₃|+|A₁A₂ÇA₃|

при k=4 имеем

|A₁A₂A₃A₄|=|A₁|+|A₂|+|A₃|+|A₄|

|A₁ÇA₂||A₁A₃||A₁A₄||A₂A₃||A₂A₄||A₃A₄|+

+|A₁A₂ÇA₃|+|A₁A₂ÇA₄|+|A₁A₃ÇA₄|+|A₂A₃ÇA₄||A₁A₂ÇA₃ÇA₄|,

и т.д.

2) Правило произведения. Если  конечные множества, то

|A₁A₂…A_k|=|A₁|·|A₂|·…·|A_k|.

Пример 3.3. В роте 5 офицеров, 10 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно составить наряд из одного офицера, одного сержанта и одного рядового?

Решение. Пусть A₁, A₂, A₃  соответственно множества офицеров, сержантов и рядовых. По условию |A₁|=5,·|A₂|=10, |A₃|=70. Тогда A₁A₂A₃  это всевозможные тройки «офицер-сержант-рядовой». Таких вариантов троек, а значит и число возможностей составления таких троек (нарядов) равно |A₁A₂A₃|=|A₁|·|A₂|·|A₃|=5·10·70=3500.

Ответ: 3500 способами.

3.2. Сочетания (См. также [4], §5.2; [5], §5.1). Пусть N  конечное множество, MN, |N|=n, |M|=m. Тогда M называется сочетанием элементов из N по m. Другими словами, если N={1, 2, …, n}  n-элементное множество, то любое его m-элементное подмножество M={i₁, i₂, …, i_m} является сочетанием (при этом порядок следования элементов в M не важен!).

Например, если N={1, 2, 3, 4, 5}, то M₁={1, 2, 3}, M₂={2, 3, 5}  различные сочетания по 3 5-элементного множества N. При этом

{1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}

как сочетания не различаются.

Число всевозможных m-элементных сочетаний n-элементного множества называется числом сочетаний из n по m, и обозначается через . Можно показать, что это число можно подсчитать по формуле

=,

где n!=1·2·…·(n1)·n  произведение всех натуральных чисел от 1 до n если n>1, и если n=1 и n=0, то по определению полагаем n!=1!=0!=1. n! читается «эн-факториал».

Например, ===10.

Заметим, что если k<n, то n!=k!·(k+1)·…·n. (например, 20!=15!·16·17·18·19·20). Поэтому при нахождении нет необходимости расписыватьn!, m!(nm)!, а достаточно n! расписать в виде k!·(k+1)·…·n, где k  максимальное из m и nm, сократить на k!, а остальные сомножители в числителе сократить на сомножители второго факториала. Например,

===16·17·3·19=15504,

или

====15·8·17·19=38760.

Отметим следующие свойства числа сочетаний:

1) =;

2) ==n;

3) =.

3.3. Размещения и перестановки (См. также [4], §5.2; [5], §5.1). Пусть N  конечное множество, MN, |N|=n, |M|=m. Если элементы M расположить в определённом порядке, то есть упорядочить, то полученный кортеж называется размещением элементов из N по m.

Например, если N={1, 2, …, n}, то (1, 2, 3) и (1, 3, 2)  это различные размещения, хотя в них участвуют одни и те же элементы.

Число всевозможных m-элементных размещений n-элементного множества называется числом размещений n по m, и обозначается через . Можно показать, что это число можно подсчитать по формуле

=n·(n1)·…·(nm+1)=.

Например, =10·9·8·7=5040.

Если в размещении из n по m n=m, то оно называется перестановкой. Другими словами, перестановкой множества N={1, 2, …, n} называется любой установленный в нём (в множестве) порядок. Число перестановок n-элементного множества обозначается через P_n. Ясно, что

P_n==n·(n1)·(n2)…·2·1=n!.

Пример 3.4. В группе студентов из 20 человек необходимо выбрать актив из 40 человек. Сколькими способами это можно сделать, если это делается:

а) с распределением обязанностей (староста, культорг, спорторг, профорг);

б) без распределения обязанностей.

Решение. Когда мы 4 человека из 20 выбираем в актив с распределением обязанностей, то, тем самым, выбираем размещение из 20 по 4. Действительно, если зафиксировать порядок следования обязанностей в виде (староста, культорг, спорторг, профорг), то актив (Иванов, Петров, Сидоров, Фёдоров) означает, что Иванов  староста, Петров  культорг, Сидоров  спорторг, Фёдоров  профорг. (А вот актив (Сидоров, Петров, Иванов, Фёдоров) уже другой (хотя участвуют те же лица), так как Сидоров  староста, Иванов  спорторг. Таким образом, нам достаточно найти число размещений из 20 по 4:

=20·19·18·17=116280

способами можно распределить обязанности старосты, культорга, спорторга, профорга в группе из 20 человек.

б) Если актив выбираем без распределения обязанностей, то в активе {Иванов, Петров, Сидоров, Фёдоров} нет разницы, кто в каком порядке идёт. Например, {Сидоров, Петров, Иванов, Фёдоров}  тот же самый актив. Таким образом, нам достаточно найти число сочетаний из 20 по 4:

===17·3·19·5=4845

способами можно выбрать актив в составе 4 человек из 20 без распределения обязанностей.

3.4. Упражнение. Вычислить:

1) 3!, 4!, 5!, 6!, 7!;

2) , , , ;

3) +, ­, ;

4) ;;;

5) n!, (m+1)!, m!;

6) ,,,+;

7) P₄, P₅, P₆, P₇;

8) +, +, .

Решение. 2) Найдём . Вынесем общий множитель 4! За скобки в числителе и сократим со знаменаталам:

===205.

3) +=+=20+21=41.

4) ==.

5) n!= n!= n!= =

==.

6) Воспользуемся формулой для нахождения числа размещений:

=543=60.

7) Воспользуемся формулой для нахождения числа перестановок:

P₄=4!=1234=24.

8) Найдём первое число:

+=+=+=10+360=370.

Ответ: 2) =205; 3)+=41;

4) =; 5) n!=;

5) =60; 7)P₄=24;

8) +=370.