Глава II. Множество натуральных чисел. Мощность множества.

Элементы комбинаторики

Как мы отметили в §4 первой главы, аксиоматически строится любая математическая теория (в том числе теория множеств). В этой главе мы рассмотрим элементы построения множества натуральных чисел. Именно, мы рассмотрим два способа построения этого множества: конструктивный и аксиоматический. Что нам даёт аксиоматический способ, и проблемы связанные с ним, читатель уже имеет некоторое представление (§4 из Главы 1). Конструктивный способ даёт одну из моделей теории натуральных чисел.

§1. Построение множества натуральных чисел. Метод математической индукции.

1.1. Построение множества натуральных чисел (См. также [4], §1.3).

Способ I  конструктивный. Положим по определению 0{}, 1{0}={}¹, 2{0, 1}={, {}}, 3{0, 1, 2}={, {}, {, {}}}, …, n={0, 1, …, n1}, …. Множества обозначаемые через 0, 1, 2, 3, …, n, …, называются натуральными числами. Объединение этих множеств {0, 1, 2, …, n} называется множеством натуральных чисел. Это множество обозначается, как известно, через N.

Способ II  это аксиоматический.

Пусть имеется некоторое множество N, в котором выбран (и зафиксирован) некоторый элемент, обозначаемый через 0, и функция, которая произвольному элементу nN ставит в соответствие nN. Тогда множество N называется множеством натуральных чисел, если система N=N, 0,  удовлетворяет следующим аксиомам:

1) n0 для любого nN;

2) для любого m0 существует nN такой, что n=m.

3) для любых m, nN, если m=n, то m=n;

4) для любого свойства P, если P выполняется на элементе 0 и для любого nN из выполнимости P на элементе n следует выполнимость P на элементе n, то свойство P выполняется на любом элементе nN.

Так как N=N, 0, , то, вообще говоря, N≠N. Но для удобства считают, что N=N, подразумевая, что при этом N рассматривается в совокупности с 0 и отношением . В частности, обозначение xN означает не что иное, как xN. Именно поэтому при первом, конструктивном, введении мы N назвали множеством натуральных чисел, хотя естественнее будет N и N отличать и называть их соответственно системой и множеством натуральных чисел.

Приведённая выше система аксиом называется системой аксиом Дедекинда-Пеано. Элемент n называется непосредственно следующим для n (за n), и играет роль n+1. Аксиомы 1) и 2) утверждают, что 0 не является непосредственно следующим ни для какого элемента из N, а любой ненулевой элемент является таковым для некоторого элемента из N.

1.2. Метод математической индукции (См. также [4], §1.3). Аксиома 4) системы аксиом Дедекинда-Пеано называется аксиомой математической индукции. Она позволяет по следующей схеме доказать, что некоторое свойство P выполняется для всех натуральных чисел. Для этого достаточно:

1) Доказать P(0) (установить базис индукции), то есть показать, что свойством P обладает 0.

2) Сделать предположение, что для произвольного nN имеет место P(n) (задать шаг индукции), то есть предположить, что свойством P обладает произвольное натуральное n.

3) На основе сделанного предположения P(n) доказать P(n+1) (то есть на основе сделанного предположения, что произвольный n обладает свойством P, доказать, что свойством P обладает n+1.

Пример 1.1. Доказать, что для произвольного натурального n имеет место равенство

0+1+2+…+n=. (1.1)

Доказательство. 1) База индукции: 0= верно.

2) Предположим, что равенство (1.1) имеет место для произвольного n.

3) Для n+1 имеем

0+1+2+…+n+(n+1)=(0+1+2+…+n)+(n+1)+(n+1)=

===,

то есть равенство (1.1) справедливо для n+1 в предположении, что оно справедливо для произвольного n.

Следовательно, равенство (свойство Р) справедливо для произвольного натурального числа n.

(1) Воспользовались предположением индукции, то есть вместо 0+1+2+…+n подставили ¹

Часто приходится доказывать справедливость свойства P не на всём множестве натуральных чисел, а начиная с некоторого k: для всех nk (чаще всего при k=1). Тогда в качестве базы индукции берётся k.

Пример 1.2. Доказать, что для любого n1 число 6^2n1+1 делится на 7.

Доказательство. 1) База индукции: 6^2·11+1=6+1 делится на 7.

2) Шаг индукции: Предположим, для произвольного nN 6^2n1+1 делится на 7.

3) Для n+1 имеем

6^2(n+1)1+1=6^2n+21+1=6^2n1·6²+1=6^2n1·36+1=6^2n1·(35+1)+1=6^2n1·35+(6^2n1+1).

Первое слагаемое 6^2n1·35 делится на 7. Второе слагаемое также 6^2n1+1 делится на 7 по предположению индукции. Следовательно, их сумма 6^2(n+1)1+1 делится на 7.

Таким образом, в предположении, что 6^2n1+1 делится на 7 получаем, что делится на 7 и 6^2(n+1)1+1, то есть в предположении, что свойство выполнено при произвольном n, получаем, что свойство выполнено при n+1. Значит, свойство выполнено при любом натуральном n1: 6^2n1+1 делится на 7 при любом натуральном n1.

1.3. Упражнения. 1. Методом математической индукции доказать, что для любого n1 справедливы равенства:

1) 2²+4²+8²+…+(2n)=;

2) 1·2·3+2·3·4+3·4·5+…+n(n+1)(n+2)=;

3) 1·2²+2·3²+3·4²+…+(n1)n²=;

4) 3+3²+3²+…+3ⁿ=;

5) +++…+=;

6) +++…+=2;

7) +++…+=3;

8) +++…+=

2. Доказать, что при любом натуральном n1 справедливы свойства:

1) n³+5n делится на 6;

2) n³+9n²+26n+24 делится на 6;

3) 7²ⁿ1 делится на 24;

4) 13ⁿ+5 делится на 6;

5) 15ⁿ+6 делится на 7;

6) 9ⁿ+3 делится на 4;

7) 7ⁿ+9 делится на 8, если n  нечётное;

8) 3ⁿ+7 делится на 8, если n  чётное;

9) 7ⁿ+3n1 делится на 9;

10) 7ⁿ+12n+17 делится на 18;

11) 6ⁿ+20n+24 делится на 25;

12) 5ⁿ+23ⁿ+5 делится на 8;

13) 5ⁿ3ⁿ+2n делится на 4;

14) 52^3n2+3^3n1 делится на 19.