§4. Замечания об аксиоматическом построении математической теории и теории множеств

4.1. Об аксиоматическом построении математической теории. Всякая математическая теория строится на основе некоторой системы аксиом. Именно, вводятся первичные, неопределяемые понятия, первичные недоказываемые, утверждения  аксиомы,  и первичные, неопределяемые отношения между понятиями. Так, в элементарной геометрии (так называемой евклидовой геометрии) в качестве неопределяемых понятий выступают такие понятия, как точка, прямая, плоскость. В качестве неопределяемых отношений  такие, как отношения «принадлежать», «лежать между».

При построении аксиоматической теории возникают три основные проблемы:

1. Проблема непротиворечивости аксиом.

2. Проблема независимости аксиом.

3. Проблема полноты системы аксиом.

Первая проблема решает следующий вопрос: строя теорию на основе данной системы аксиом, не получится ли так, что выведутся две противоречащие друг другу теоремы (то есть теоремы, взаимно исключающие друг друга)? Она решается построением некоторой математической модели, на которой выполняются все аксиомы данной системы аксиом. И если та область математики, в которой построена модель, сама непротиворечива, то и данная система аксиом непротиворечива. Так, евклидова геометрия имеет одной из моделей аналитическую геометрию, которая полностью строится арифметически. И если аксиомы арифметики непротиворечивы, то и евклидова геометрия непротиворечива.

Кроме помощи в доказательстве непротиворечивости аксиоматической теории, модель этой теории часто помогает вводить новые понятия и доказывать теоремы, минуя рутину аксиоматического построения. Наконец, модель способствует лучшему пониманию самой теории.

Вторая проблема решает следующий вопрос: нельзя ли некоторую аксиому А вывести в качестве теоремы из остальных? Она решается построением такой модели, в которой выполняются все аксиомы, кроме одной  А (а аксиома А не выполнена). Тогда она не зависит от остальных, то есть не выводится из остальных в качестве теоремы. Действительно, если бы она выводилась в качестве теоремы из остальных, то, в силу того, что остальные в данной модели выполняются, и данная, А (которая выводится из остальных), на данной модели выполнялась бы.

Проблема полноты заключается в том, что решает вопрос: нельзя ли дополнить данную систему аксиом ещё хотя бы одной, такой, чтобы она позволила доказать (в совокупности с остальными аксиомами) новые теоремы, которые только с помощью остальных доказать уже нельзя. Вопрос, как она решается, мы здесь не будем обсуждать.

4.2. Об аксиоматическом построении теории множеств (См. также [4], §1.8). Как и всякая математическая теория, теория множеств, вообще говоря, строится аксиоматически. Приведём часть системы аксиом Цермело  Френкеля (ZF).

1. Аксиома существования. Существует по крайней мере одно множество.

2. Аксиома объёмности. Если множества А и В составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают: А=В.

3. Аксиома объединения. Для произвольных множеств А и В, существует множество, элементами которого являются все элементы множества А и все элементы множества В и которое никаких других элементов не содержит.

4. Аксиома разности. Для произвольных множеств А и В, существует множество, элементами которого являются те и только те элементы множества А, которые не являются элементами множества В.

5. Аксиома степени. Для каждого множества А существует семейство множеств В(А), элементами которого являются все подмножества множества А, и только они.

6. Аксиома существования пустого множества. Существует такое множество, что ни один элемент ему не принадлежит.

Аксиомы 3 и 4 непосредственно определяют операции объединения  и разности \. Операцию пересечения можно определить как АВ=А\(А\В). Остальные операции вводятся так же, как и выше.

Отметим, что выше мы ввели понятия множества, элемент множества, операции над множествами, минуя строгое аксиоматическое построение теории множеств. Мы преследовали (и будем далее преследовать) цель дать представление о теории множеств, и поэтому строгое аксиоматическое построение (как с самого начала, так и в дальнейшем) обходим стороной.

1Здесь и всюду в пособии перед началом пункта каждого параграфа приводятся ссылки на литературу, в которой ещё можно почерпнуть материал по данной теме.

2ЗаписьABобозначает, чтоA=Bпо определению

23