ФИЗИКА Ч1 / Лекции_Постников / 1_1

2

2.5.Общее решение этого уравнения имеет вид

s = A1 sin ωt + A2 cosωt

где А1 и А2 определяются из начальных условий

2.6. Общее решение может быть приведено к стандартному виду s = Asin(ωt +ϕ0 )

где A = A12 + A22 и ϕ0 = arctg(A2 A1 )

2.7.Графическое представление гармонических колебаний

2.8.Согласно формуле Эйлера

eiϕ = cosϕ +i sinϕ

Поэтому формулу гармонических колебаний можно запи-

смысл имеет только действительная часть комплексной функции

Re ~s = s = Acos(ωt +ϕ1 ) = Asin(ωt +ϕ0 )

3.Колебания материальной точки вдоль оси X около положения равновесия описываются уравнением движения

x= Asin(ωt +ϕ0 )

3.1.Проекция скорости и ускорения на ось Х

(силы иной физической природы, удовлетворяющие тому же виду зависимости, на-

зываются квазиупругими силами).

3.3.Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

или

Wк = mω42 A2 [1+cos(2ωt +2ϕ0 )]

3.4.Потенциальная энергия материальной точки, гармонически колеблющейся под действием квазиупругой силы, равна

3.5.Колебания потенциальной и кинетической энергии совершаются со сдвигом по фазе на π, так что полная механическая энергия материальной точки

3

W=Wп +Wк = mω22 A2 = const

4.Линейный гармонический осциллятор – материальная точка массы m, совершающая прямолинейные гармонические колебания под действием упругой силы (например, пружинный маятник с коэффициентом жесткости пружины k). Уравнение движения имеет вид

Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора

= kx2 Wп 2

5.Физический маятник – твердое тело, имеющее возможность качаться под действием силы тяжести вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тяжести тела и называемой осью качания. Точка пересечения оси качания с плоскостью, проходящей через центр тяжести маятника (центр масс твердого тела) и перпендикулярная оси качания, называется точкой подвеса. Уравнение движения (в отсутствие сил трения)

Jd 2α2 = −mgd sinα dt

где α - угол поворота маятника вокруг оси качания из положения равновесия; d – расстояние от центра масс маятника до точки подвеса; J – момент инерции маятника относительно той же оси; m – масса маятника. При малых колебаниях sinα =α и

Таким образом

α =α0 sin(ωt +ϕ0 )

где α0 – амплитуда колебаний, а циклическая частота и период колебаний

6.Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

6.1. Момент инерции

J = ml2

6.2.Циклическая частота

ω= g l

6.3.Период малых колебаний (изохронные колебания)

T = 2π l g

7.Приведенной длиной физического маятника называется длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний

lпр = mdJ = d + mdJC > d

Лекция 8

СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ

Сложение параллельных колебаний. Биения. Сложение колебаний разных частот. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

Свободные затухающие колебания. Период и коэффициент затухания, время релаксации, декремент затухания.

1.Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колебаний системы в тех случаях, когда система участвует одновременно в нескольких колебательных процессах.

1.1.Два предельных случая – колебания в одном направлении и взаимно перпендикулярные.

1.2.Сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний

производится методом векторных диаграмм.

1.3.Проекция результирующего вектора A(t) на вертикальную

ось

s = A(t) sin Ф(t)

1.4.Амплитуда и фаза может быть найдена по теореме косинусов

[A(t)]2 = A12 + A22 +2A1 A2 cos[Ф2 (t) −Ф1 (t)]

2.Если разность фаз складываемых колебаний не зависит от времени, то такие колебания называются когерентными

2.1.Из этого следует

р– р

2.2.Амплитуда изменяется в пределах

от А = |А1 - А2| при ϕ2 - ϕ1 = ±(2m + 1)π (колебания в противофазе)

до А = А1 + А2 при ϕ2 - ϕ1 = ±2mπ (синфазные колебания) где m = 0, 1, 2, … любое целое неотрицательное число.

3.Если частоты складываемых колебаний различны, то такие колебания некогерентны. Но два гармонических колебания с различными циклическими частотами можно прибли-

женно считать когерентными в течение некоторого промежутка времени t, за который разность фаз этих колебаний изменяется незначительно

ω2 −ω1 t << 2π или t <<τког

где τког = 2πω2 −ω1 – время когерентности рассматриваемых колебаний.

4.В результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с близкими частотами ( ω2 −ω1 <<ω1 ) возникают биения.

4.1.За начало отсчета времени лучше всего взять момент, когда фазы складываемых колебаний совпадают и равны ϕ0

3

7.1.Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы

где β - коэффициент затухания.

7.2.Решение этого уравнения в общем виде

где A = A0 exp{−βt} – амплитуда затухающих колебаний, а ω2 =ω02 − β2 .

7.3.Промежуток времени τ =1β , в течение которого амплитуда уменьшается в е раз,

называется временем релаксации.

7.4.Затухание нарушает периодичность колебаний, но при малых затуханиях период затухающих колебаний можно определить по формуле

T = 2π ω = 2π ω02 − β2

7.5.Отношение амплитуд двух последовательных колебаний, по времени отличающихся на величину периода,

называется декрементом затухания, а логарифм этого отношения

где Ne – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз,

называется логарифмическим декрементом затухания.

7.6.Для характеристики колебательной системы вводится понятие добротности (при

β2 <<ω02 )

Q = π =πNe = βπT0 = 2ωβ0

Лекция 9

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВОЛНОВОЕ ДВИЖЕНИЕ

Вынужденные колебания. Резонанс.

Волновое движение. Уравнение плоской незатухающей бегущей волны. Энергия упругой волны. Вектор плотности потока энергии. Сложение (интерференция) волн. Стоячие волны

1.Переменная внешняя сила, приложенная к колебательной системе и вызывающая в ней механические колебания, называется вынуждающей (возмущающей) силой.

2.Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

3.Если Fx (t) - периодическая функция, то после приложения этой силы к маятнику возни-

кает переходный режим вынужденных колебаний

x = x1 (t) + x2 (t)

где первый член соответствует свободным затухающим колебаниям

а второй член соответствует незатухающим периодическим колебаниям с частотой, равной частоте возмущающей силы

4. Амплитуда свободных затухающих колебаний A0e−βt быстро уменьшается и через некоторое время (τ0 = 4,6β , когда уменьшение происходит в 100 раз)) свободные колебания

маятника практически прекращаются

x(t) ≈ x2 (t)

Такое состояние называется режимом установившихся вынужденных колебаний. 5. Если возмущающая сила изменяется по периодическому закону

Fx = F0 cos Ωt

то установившиеся вынужденные колебания будут совершаться с такой же частотой x = Acos(Ωt +ϕ0 )

где

где ω = ω02 − β2 - циклическая частота свободных затухающих колебаний, δ - логарифми-

ческий декремент затухания. 7. При малых значениях β

Ωp ≈ω0 , ϕ0 (Ωp ) ≈ −π2, Ap ≈ QA0

где Q ≈πδ - добротность маятника, A0 = x0 ω02 - величина статического смещения.

3

v = K ρ

где ρ - плотность среды, К – модуль объемной упругости среды.

Фазовая скорость поперечных упругих волн в однородной изотропной твердой среде v = G ρ

Фазовая скорость продольных упругих волн в однородной изотропной твердой среде v = E ρ

где Е и G – соответственно модули упругости и сдвига материала.

20.При распространении волн в упругой среде ее кинетическая энергия обусловлена коле-

бательным движением частиц среды, а потенциальная энергия – деформацией.

21.Объемная плотность кинетической энергии среды

wк = dWdVк = 12 ρv12

где v1 – скорость частиц среды, dWк - кинетическая энергия всех частиц в малом объеме dV ,

в пределах которого скорость частиц одинакова.

22. Объемная плотность потенциальной энергии упруго деформированной среды wп = dWdVп = 12 ρv2ε2

где v – фазовая скорость волны в среде; ε - относительная деформация; dWп - потенциальная энергия однородно деформированной среды.

w = ρA2ω2 cos2 (ωt −kr +ϕ0 )

для сферической

w= ρ a0 2ω2 cos2 (ωt −kr +ϕ0 )

r

исреднее за период значение объемной плотности энергии упругих волн

w= 12 ρA2ω2

26.Скорость переноса энергии волной равна скорости перемещения в пространстве поверхности, соответствующей максимальному значению объемной плотности энергии волны.

27.Потоком энергии называется величина

dФw dS = dWdt

где dW = wvdtdS cosα = w(v d S)dt - величина энергии, передаваемой через площадку dS за

малый промежуток времени, v – вектор скорости переноса энергии волной, α - угол между вектором скорости и нормалью к площадке dS.

Тогда

dФw dS = w(v d S) = (U d S)

где U = w v – называется вектором Умова (вектором плотности потока энергии волны).

28.Интенсивностью волны (для бегущей плоской синусоидальной волны) называется модуль среднего значения вектора Умова

5

где α - разность фаз в точках х = 0. В этом случае образуется стоячая волна

37.Точки, в которых амплитуда стоячей волны равна нулю, называются узлами стоячей волны, а точки, в которых амплитуда максимальна, называются пучностями.

где λ - длина бегущей волны.