TKz-12_Obschaya_teoria_svyazi_chast_2 / 07

1

3.8. Верхние и нижние границы избыточных кодов

Верхними границами обычно называются наилучшие граничные соотношения между кодовым расстоянием, числом избыточных и информационных символов, обеспечивающие наименьшую избыточность кода или наибольшую скорость передачи информации. Обсуждаемые ниже верхние границы Хемминга и Плоткина не гарантируют существование кодов с параметрами, полученными из границ. В то же время рассматриваемая нижняя граница Варшамова–Гильберта гарантирует существование кодов с числом избыточных символов, не превышающим некоторую верхнюю оценку избыточных символов при заданных требованиях к dmin.

то указанное соотношение можно записать в виде MрL ≤ M0 – Mр. Обозначим через Е полное множество исправляемых ошибок. Тогда

имеет место Е = L. Подставляя (3.1) и (3.2) в (3.20), получим

Поскольку s – максимальная кратность исправляемых ошибок, то для двоичных n-разрядных кодов, исправляющих ошибки,

Подставляя (3.22) в (3.21), получим окончательный вид границы Хемминга для двоичных кодов:

Напомним, что m – число информационных символов кода, n – общее число символов (разрядов) кода, называемое длиной кода, k = (n – m) – число избыточных символов кода. Поделив левую и правую части неравенства (3.23) на 2m, получим другой вид границы Хемминга:

Неравенства (3.23) и (3.24) при заданных m и s решаются подбором. Пример 3.11. Найти параметры кода, исправляющего однократную

ошибку, для передачи М = 11 сообщений.

Найдем m = [log 11] = 4; s = 1. Тогда из (3.23) получим

Подбором устанавливаем, что n = 7; k = 3.

Пример 3.12. Положим, что надо найти все параметры кода длины n = 63 с кодовым расстоянием dmin = 5 и наибольшим возможным значением m – числа информационных символов. Согласно (3.24) получим

Таким образом, из границы Хемминга следует, что не существует кода с числом избыточных символов k меньше 11 или с числом информационных символов m больше 52. В то же время из замечания, сделанного в начале данного подраздела, о том, что граница Хемминга не является границей существования, следует, что не гарантируется существование кодов с найденными параметрами k = 11, m = 52.

Если для некоторого кода верхняя граница Хемминга выполняется со знаком равенства, то код называется совершенным. Совершенные коды называют также плотноупакованными кодами (см. подразд. 3.4). В заключение отметим, что верхняя граница Хемминга дает точные оценки при больших значениях n.

3.8.2.Верхняя граница Плоткина

Вобласти малых значений Rи = mn верхняя граница Хемминга явля-

ется довольно грубой. При малых значениях Rи точнее границы Хемминга является верхняя граница Плоткина, определяемая для двоичного n-разрядного кода следующим образом:

где Мр – фактическое число используемых кодовых слов.

3

ло n = 6, тогда согласно (3.25,а) mmax ≤ 4 и k ≥ 2.

Таким образом, из границы Плоткина следует, что не существует кода, исправляющего однократные ошибки, с числом избыточных символов k меньше 2 и общей длиной кода меньше 6. Действительно, ближайший существующий код с максимальной скоростью передачи имеет параметры n = 7, k = 3. Но данный пример подтвердил, что граница Плоткина дает лучшие оценки, чем граница Хемминга, при малых Rи. Данный пример подтверждает, что граница Плоткина не является границей существования. В работе [10] показано, границы Плоткина достигают лишь коды, в которых расстояние между любыми двумя различными кодовыми словами одно и то же; такие коды называются эквидистантными. Например, двоичными эквидистантными кодами являются коды, состоящие из последовательностей максимальной длины, и коды, получающиеся из матриц Адамара [10,11]. Наряду с рассмотренными верхними границами существует еще граница Элайеса, которая лучше обеих рассмотренных границ, по

крайней мере при средних скоростях Rи = mn . Граница Элайеса нами не

рассматривается.

Отметим, что в главе 5, посвященной алгебраическим кодам, в частности групповым систематическим кодам, нами будет использована верхняя граница Хемминга (3.24).

3.8.3. Нижняя граница Варшамова–Гильберта

Как отмечалось выше, наряду с верхними границами существуют нижние кодовые границы, в частности граница Варшамова–Гильберта [12]. Сравнительный анализ этих границ показывает следующее. Верхняя граница утверждает, что не существуют коды с числом избыточных символов меньше определенного граничного числа k1. В то же время нижняя граница, в частности Варшамова–Гильберта, «гарантирует» существование кодов с числом избыточных символов k2 меньше другого граничного числа: k2 > k1.

4

Нижняя граница Варшамова–Гильберта имеет вид

При этом утверждается, что существует (n,m)-код с кодовым расстоянием, не меньшим d, и с числом избыточных разрядов k ≤ n – m.

Пример 3.14. Оценим с помощью границы Варшамова–Гильберта параметры кода из примера 3.12, т.е. кода длины n = 63 с dmin = 5. Согласно

точных символов k, для которого выполняется это неравенство, … 16. Итак, сравнивая результаты примеров 3.12 и 3.14, приходим к такому

выводу: из границы Хемминга следует, что не существует кодов с k < 11, т.е, по Хэммингу, k ≥ 11 (нижняя граница по избыточным символам и, следовательно, верхняя граница по информационным символам), а граница Варшамова–Гильберта «гарантирует» существование кодов с k ≤ 16 (верхняя граница по избыточным символам и, следовательно, нижняя граница по информационным символам).