1
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ, ТРЕБОВАНИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
К математическим моделям дискретных каналов связи (ДКС) предъявляются следующие основные требования:
1.Соответствие закономерностей распределения ошибок, получаемых при использовании данной модели, действительным закономерностям, наблюдаемым в реальных каналах связи.
2.Возможность создания на основе данной модели методов расчета параметров систем передачи дискретной информации, точность которых удовлетворяла бы требованиям инженерной практики.
3.Минимальное количество параметров, используемых при описании последовательности ошибок в модели, и простота экспериментальных измерений этих параметров на реальных каналах связи.
Известные модели каналов можно разбить на две группы:
1.Модели, описывающие ДКС с независимыми ошибками, или ДКС без памяти.
2.Модели, описывающие ДКС со статистически зависимыми (коррелированными) ошибками, или ДКС с памятью.
Ниже будут рассмотрены обе группы моделей ДКС.
2.1.Математические модели дискретных каналов без памяти
2.1.1.k-ичный несимметричный ДКС без памяти (kНДКС)
Обозначим через k мощность входного канального алфавита {хi}, ачерез k′– мощность выходного канального алфавита {yi}, при этом
k′ ≥ k. Исчерпывающим описанием всех статистических показателей является матрица переходных вероятностей M. Все переходные вероятности необходимо определять экспериментально. Они и являются параметрами k- ичного НДКС без памяти. Для каждой строки М выполняется условие нор-
k ′ |
|
|
|
|
|
мирования ∑P( y j xi ) =1. Для КНДКС матрица M имеет вид |
|||||
j =1 |
|
|
|
|
|
y1 |
y2 L y j |
|
L yk ′ |
||
x1 |
|
|
|
|
|
x2 |
y |
j |
|
. |
|
M = M |
|||||
P |
|
||||
|
|
xi |
|
||
xi
M xk
2
Примем, что k′ = k. Тогда размерность данной модели определяется числом независимых параметров матрицы переходных вероятностей:
Nм = k (k – 1). |
(2.1) |
Введем понятие «событие канала» {Cν}, описывающее безошибочную либо ошибочную (с учетом величины ошибки) передачу символов.
Величинаошибкиприпередачехi (i = 1, k) поДКСопределяетсякак eij = |yj – xi| mod k.
Тогда мощность множества событий ДКС
Nc = k, т. е. {Cν} = {0, 1, 2, …, ν, … k – 1},
где 0 означает состояние безошибочной передачи символа; ν – ошибку при передаче любого xi (i = 1, ..., k).
Граф событий k-ичного ДКС представлен на рис. 2.3,а.
P(0) |
|
x1 |
• |
|
|
x2 |
• |
|
|
M |
|
P(k–1) |
P(1) |
xi |
• |
M
xk •
P(2) a)
• y1
• y2
P( yj / xi)
M
• yj
M
• yk
б)
Рис. 2.3. Граф событий (а) и канальный граф (б) k-ичного НДКС
Ребра графа событий нагружены вероятностью соответствующего события, т. е. вероятностью ошибки определенной величины.
Канальный граф, представленный на рис. 2.3,б, является, по сути, графической иллюстрацией матрицы переходных вероятностей.
Имея матрицу М k-ичного НДКС, можно аналитически определить все интересующие нас параметры потока ошибок и, следовательно, системы передачи дискретной информации.
Следует отметить, что в дискретном канале без памяти выделяется одно состояние канала, характеризуемое матрицей переходных вероятностей М (см. рис. 2.3,а). В этом состоянии канал связи находится при любой передаче элементарного сигнала, независимо от событий предшествующих передач.
Определим усредненные вероятностные показатели ошибки (р(е)) и правильной передачи символа (Рпр.) по НДКС:
3
k |
k |
|
p(e) = ∑P(xi ) ∑P(y j xi ), |
(2.2) |
|
i =1 |
j =1 |
|
|
j ≠i |
|
Рпр. = 1 – Р(е).
Величина p(е) оценивает вероятность ошибочных передач без учета величины ошибки.
В этом случае считаем, что при передаче любого символа могут произойти только два события – правильная и ошибочная передачи. Учитывая, что ошибки в канале появляются независимо с вероятностью pош., можно допустить, что вероятность появления в n-элементной комбинации (серии) символов i ошибок Р(i, n) определяется биномиальным распределением:
|
|
n |
|
(e)(1 − p(e))n−i , |
(2.3) |
|||
P(i, n) = |
pi |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
i |
|
|
|
|
|
||
=Ci |
|
|
n! |
|
|
|||
|
|
= |
|
. |
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
i!(n −i)! |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|||
Вероятность приема неискаженной комбинации (i = 0)
P(0, n) = (1 − p(e))n ≈1 − n p(e) . |
(2.4) |
Приближенная оценка, при которой отбрасываются остальные члены ряда, допустима, если n p(e) < 0,1.
Вероятность появления хотя бы одной ошибки
P(≥1, n) =1 − p(0, n) ≈ n p(e) . |
(2.5) |
||
Вероятность появления s и более ошибок |
|
||
n n |
− p(e))n −i . |
(2.6) |
|
P(≥ s,n) = ∑ |
p(e)i (1 |
||
|
|
|
|
i =s i |
|
|
|
Ниже приводятся более простые модели ДКС без памяти, являющиеся частными случаями k-ичного НДКС без памяти.
2.1.2. Двоичный несимметричный ДКС без памяти (ДНДКС)
Поскольку k = k' = 2, то матрица переходных вероятностей (М) имеет
вид
4
|
y1 =0 |
y2 =1 |
||
x1 =0 |
|
P00 |
P01 |
. |
x2 =1 |
|
P10 |
P11 |
|
Для любой строки выполняется условие нормирования
∑2 |
P(y |
j |
x )=1. |
j =1 |
i |
||
|
|
||
Тогда с учетом (2.1) размерность модели Nм = 2.
На рис. 2.4 приведены граф событий и канальный граф ДНДКС.
P(0) |
P00 |
0 |
0 |
||
|
P01 |
|
|
|
P10 |
|
|
|
|
|
P(1) |
1 |
P11 |
1 |
|
|||
а) |
|
б) |
|
Рис. 2.4. Граф событий (а) и канальный граф (б) ДНДКС
5
Заметим, что обозначения вида p(i / j) и pij идентичны.
Ошибки вида 0 → 1 или 1 → 0 называются ошибками перехода или ошибками трансформации.
Усредненная вероятность ошибки p = p(e) для ДНДКС
p = p(0) p(1/ 0) + p(1) p(0 /1) = p(0) p01 + p(1) p10 . |
(2.7) |
Вероятность правильной передачи
q =1 − p = p(0) p(0 / 0) + p(1) p(1/1) = p(0) p00 + p(1) p11 .
Все вероятности, определенные по выражениям (2.3) – (2.6), справедливы в данном случае.
2.1.3. k-ичный симметричный ДКС без памяти (kСДКС)
Для симметричного канала справедливо выполнение следующих соотношений:
P( yj / xi) = p j, i; P( yj / xi) = q i = j.
Тогда матрица переходных вероятностей М имеет вид
x1 |
|
y1 L |
y j L |
yk ′ |
|||
|
q |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 |
|
|
O |
|
|
|
|
M = M |
|
|
|
q |
|
|
. |
xi |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
O |
|
|
|
xk |
|
p |
|
|
q |
|
|
С учетом (2.1) справедливо |
q |
+ (k – 1)p = 1. Размерность модели |
|||||
Nм = 1.
Граф событий и канальный граф имеют вид, аналогичный виду графов, показанных на рис. 2.3.
Из (2.2) следует, что усредненная вероятность ошибки |
|
pош. = p(е) = (k – 1)р. |
(2.8) |
Остальные вероятности определяются по (2.3) – (2.6). |
|
6
2.1.4. Двоичный симметричный ДКС без памяти (ДСДКС)
Матрица переходных вероятностей имеет вид
0 1
0 q p ,
1 p q
q + p =1.
Размерность модели Nм = 1.
Граф событий и канальный граф имеют вид, аналогичный виду графов, показанных на рис. 2.4.
Из (2.8), следует, что
pош = p; q = 1 – p.
Остальные вероятности определяются по (2.3) – (2.6).
В заключение данного параграфа отметим, что если n p < 0,1, то поток ошибок считается потоком редких событий, подчиняющимся пуассоновскому распределению. Тогда вероятность i-ошибок среди n-символов можно определить следующим выражением:
P(i,n) = |
( f |
0 |
T )i |
e |
− f |
0 |
T |
, |
(2.9) |
|
|
i! |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ƒ0 – средняя частота ошибок; Т = n τ – длительность (время передачи по каналу) последовательности из n символов, каждый из которых имеет длительность τ. При этом результаты вычислений по (2.3) и (2.9) тем больше совпадают, чем меньше величина n p. Выражение (2.9) целесообразно применять при n p << 1.
P(0, n) = e− f0T .
При ƒ0T << 1 имеемP(0, n) ≈1 − f0 T =1 − f0 n τ;
т. е. 1 – Р(0, n) = = Р( ≥ 1, n) = ƒ0 n τ.
Тогда вероятность искажения элементарного символа
p ≈ ƒ0 τ, т. е. Р( ≥ 1, n) ≈ n p (е),
что совпадает с результатом (2.5).