TKz-12_Obschaya_teoria_svyazi_chast_2 / 12

1

5. ПРИМЕНЕНИЕ ГРУППОВЫХ КОДОВ В КАНАЛАХ И ТРАКТАХ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ

Алгебраические коды, к которым относится групповой код, получили наиболее широкое применение в системах передачи дискретной информации. Они являются оптимальными в цифровых каналах с независимыми и пакетирующимися ошибками. Это объясняется высокими корректирующими свойствами, регулярностью структуры, эффективными способами построения и декодирования. В настоящей главе рассматриваются групповые коды, на примере которых демонстрируются некоторые общие подходы к заданию и реализации алгебраических корректирующих кодов. Здесь же приведены обобщенные структурные схемы кодирующих и декодирующих устройств, даны оценки сложности их аппаратной реализации.

5.1.Алгебраическое введение

Валгебраическом введении даны основные понятия и определения теории поля и векторной алгебры, необходимые для понимания принципов реализации рассматриваемого класса кодов.

5.1.1.Группа, кольцо, поле

Группой (G) называется множество элементов, в котором определена некоторая операция f (*) и выполняется ряд аксиом.

Если основной операцией * является сложение (* → +), то группа называется аддитивной, если же (*→ ), то группа называется мультипли-

кативной.

Аксиома 1. Замкнутость: для каждой пары элементов a,b G существует, и притом единственный, элемент группы c G : c = a * b

(c = a + b, c = a b).

Аксиома 2. Ассоциативность: (a b) c = a (b c).

Для аддитивной группы единичный элемент e = 0: a + e =e + a = a + 0 =0 + a = a .

Для мультипликативной группы единичный элемент e = 1: a e =e a = a 1 =1 a = a .

Аксиома 4. Наличие обратных элементов: для a G существует

обратный элемент a G, такой, что a * a = a * a =e.

Для аддитивной группы обратный элемент определяется как решение уравнения a + a = a + a =0 , из которых a = −a .

2

Для мультипликативной группы обратный элемент определяется как

решение уравнения a a = a a =1, из которых a = a −1 .

Кроме перечисленных аксиом элементы группы удовлетворяют коммутативному закону, т. е. равенству

a *b =b * a[a +b =b +a;a b =b a

В этом случае группа называется абелевой или коммутативной, т. е. это абелева аддитивная группа или абелева мультипликативная группа.

Например, аддитивными абелевными группами являются совокупность всех действительных чисел; совокупность всех отрицательных и положительных целых чисел. Абелевой мультипликативной группой является совокупность всех действительных чисел, без нуля.

Группа, имеющая конечное число элементов, называется конечной. Порядком конечной группы называется число элементов группы.

Кольцом (R) называется множество элементов, на котором определены операции сложения и умножения и выполняются следующие аксиомы:

Аксиома 1. Множество R является аддитивной абелевой группой. Аксиома 2. Замкнутость: для любых двух элементов a,b R опреде-

лено произведение a b , которое является элементом R.

Аксиома 3. Ассоциативность: для любых трех элементов a,b, c R справедливо равенство a (b c) = (a b) c.

Аксиома 4. Дистрибутивность: для любых трех элементов a,b, c R справедливы равенства a (b + c) = a b + a c и (b + c) a =b a + c a .

Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения, т.е. a b =b a. Примерами кольца являются:

1.Все действительные числа с операциями сложения и умножения.

2.Все множества положительных и отрицательных целых чисел

иноль, т.к. для элементов кольца не требуется обратных по умножению элементов и единичного по умножению элемента.

Полем (F) называется коммутативное кольцо с единичным элементом по умножению (единичный мультипликативный элемент), в котором каждый ненулевой элемент обладает мультипликативным обратным элементом.

Примером поля является совокупность всех действительных чисел.

Поле, содержащее конечное число элементов q, называется конечным и обозначается GF(p) (Поле Галуа – Galua Field). Порядком конечного поля называется число элементов поля. Все элементы любого конечного поля образуют аддитивную группу, поэтому порядок аддитивной группы поля совпадает с порядком поля. Мультипликативная группа поля включает все элементы поля, кроме нулевого, поэтому мультипликативная группа поля порядка q имеет порядок q – 1.

3

Примером конечного поля является простое поле, элементами которого служат вычеты по модулю простого числа p (mod p). Вычет определяется как остаток от деления целого числа на модуль p.

Полная система вычетов по модулю простого числа p удовлетворяет всем законам поля (более подробно сравнения, вычеты, их свойства рассмотрены в п. 6.1). Таким образом, полная система вычетов по модулю простого числа p образует конечное поле порядка p. Его обозначают через GF(p) и называют простым полем Галуа.

Пример 5.1. Элементами поля GF(3) являются числа (вычеты) 0, 1, 2. Аддитивная группа GF(3) состоит из чисел 0, 1, 2, а мультипликативная группа – из чисел 1, 2:

Поле GF(2): аддитивная группа состоит из чисел 0, 1, а мультипликативная группа − из числа 1:

Символ обозначает логическую операцию «исключающее или», к которой сводится суммирование по модулю 2 в поле GF(2).

Совокупность целых чисел по модулю p не образует поле, если только p не является простым, из-за отсутствия обратного мультипликативного элемента.

Пример 5.2. Рассмотрим совокупность вычетов по модулю p = 4 .

Аддитивная группа по mod 4 состоит из четырех элементов: 0, 1, 2, 3; мультипликативной группы из вычетов по mod 4 нет, т. к. отсутствует обратный мультипликативный элемент:

Но по модулю произвольного числа всегда образуется кольцо целых чисел.

Расширенное поле GF(pn). Целые числа по модулю простого числа образуют поле порядка p. Оказывается, можно образовать GF порядка pn, где p – простое число. Но в этом случае расширенное поле состоит не из чисел, а из вычетов-полиномов по модулю неприводимого полинома степени k с коэффициентами из простого поля GF(p) [10,13,14].

5.1.2. Векторные пространства и линейные алгебры

Множество V называется векторным пространством над полем GF(p), если для него выполняются следующие аксиомы:

Аксиома 1. Множество V является абелевой аддитивной группой и, следовательно, для V справедливы все рассмотренные ранее аксиомы абелевой аддитивной группы.

Аксиома 2. Для любого вектора V и любого элемента поля c определено произведение c V , являющееся вектором (элементы поля называются скалярами).

Аксиома 3. Дистрибутивный закон: если U ,V V – векторы из множества V , а c – скаляр, то c (U +V ) =c U +c V

Аксиома 4. Дистрибутивный закон: если V – вектор, а c и d – скаля-

ры, то (c + d) V =c V + d V .

Аксиома 5. Ассоциативный закон: если V – вектор, а c и d – скаля-

ры, то (c d) V =c (d V ).

Таким образом, во всех аксиомах, определяющих умножение, в V используется только умножение на скаляр.

Множество A называется линейной ассоциативной алгеброй над полем F, если выполняются следующие аксиомы:

Аксиома 1. Множество А является векторным пространством

над F.

5

Аксиома 2. Для любых двух элементов U и V из A существует произведение U V , определяемое как некоторый элемент из A.

Аксиома 3. Ассоциативный закон: для любых трех элементов U , V и W из A выполняется (U V ) W =U (V W ).

Аксиома 4. Дистрибутивный закон: если c и d − скаляры из F , а U , V и W − векторы из A, то U (cV + dW ) =cUV + dUW .

Последовательностью длины n элементов называется упорядо-

ченное множество из n элементов поля, обозначаемое (a1, a2 ,..., an ) , где каждый ai является элементом поля.

Сложение последовательностей длины n определяется следующим образом: (a1, a2 ,..., an ) +(b1, b2 ,..., bn ) = (a1 +b1, a2 +b2 ,..., an +bn ) .

Умножение последовательности длины на элемент поля определяет-

ся правилом: c(a1, a2 ,..., an ) = (ca1, ca2 ,..., can ).

Если определены эти две операции, то совокупность всех последовательностей длины n над полем (т. е. составленных из элементов поля) образует векторное пространство. Таким образом, мы показали, что при упорядочивании элементом поля, образовании из них последовательности и вводе для этих последовательностей операции сложения и умножения на элемент поля мы можем считать эти последовательности векторами в составе векторного пространства.

Умножение последовательностей длины n может быть определено так: (a1, a2 ,..., an ) (b1, b2 ,..., bn ) = (a1 b1, a2 b2 ,..., an bn ).

Введение этой операции превращает совокупность последовательностей в линейную алгебру.

Скалярное произведение двух векторов: (a1, a2 ,..., an ) ×

×(b1, b2 ,..., bn ) =(a1b1 + a2b2 +... + anbn ) . Если скалярное произведения двух векторов равно нулю, то говорят, что эти векторы ортогональны. Заметим, что все операции проводим по правилам GF(p), т. е. поля, над которым рассматриваем векторное пространство. Единичный элемент векторного пространства будем обозначать тем же символом «0», который используется для обозначения нулевого элемента поля. В совокупности всех последовательностей длины n 0 =(0,...,0); 0 V =0, V V.

Линейной комбинацией m векторов {V1,V2 ,...,Vm } называется сум-

ма вида U =a1V1 + a2V2 +... + amVm , где ai GF(p).

Совокупность векторов V1,V2 ,...,Vm называется линейно зависимой тогда и только тогда, когда существуют скаляры c1 ,..., cm , не все равные нулю, такие, что c1V1 +c2V2 +... +cmVm =0 . Совокупность векторов V1,V2 ,...,Vm называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.

7

Матрицей, транспонированной к матрице M размерности m × n , называется матрица MT размерности n ×m , строками которой являются столбцы матрицы M, а столбцами – строки матрицы М. Транспонирован-

ной матрицей к матрице [aij ] является матрица [a ji ].

аддитивную группу (напомним, что элементами матрицы являются элементы поля).

Матрица [aij ] размерности m × k и матрица [bij ] размерностью k ×n могут быть перемножены, причем матрица-произведение [cij ] раз-

k

мерности m ×n получается по правилу cij = ∑ail blj . Все операции вы-

l=1

полняются по правилам поля, над которым рассматриваются операции с матрицами, т. е. по модулю числа p.

Пример 5.3. Умножить матрицы.

Суммы попарных произведений элементов матриц вычисляются по модулю 2 (поле GF(2)).

Подпространство V2 последовательностей длины n называется нулевым пространством для подпространства V1 последовательностей длины n, если V V2 ортогонален подпространству V1 или, что одно и то же,

ортогонален каждому из векторов, порождающих подпространство V1. Если последовательность V длины n рассматривать как матрицу размерности 1 × n , то V принадлежит нулевому пространству матрицы М размерности m ×n тогда и только тогда, когда V МТ = 0.

Если размерность подпространства последовательностей длины n равна m, то размерность нулевого пространства равна n – m.

Если V2 – подпространство последовательностей длины n и V1 – нулевое пространство для V2 , то V2 – нулевое пространство для V1 .