TKz-12_Obschaya_teoria_svyazi_chast_2 / 08

1

3.9. Оптимальное декодирование с «жестким» и «мягким» принятием решения первой решающей схемой

ПРС может принимать «жесткое» и «мягкое» решение относительно элементарных сигналов на входе. Если мощность входного канального алфавита равна k, а мощность выходного канального алфавита k ′, то условно такой канал обозначим как ( k ×k′)-канал. Тогда при «жестком» принятии решения имеет место k = k′, а при «мягком» – k < k′.

Наиболее часто применяются следующие модели двоичного канала:

•канал с «жестким» принятием решения (канал 2 × 2);

•канал с «мягким» принятием решения (канал 2 × 3) (канал со стиранием).

При «жестком» приеме для передаваемого символа возможны два варианта приема – правильный и ошибочный. Для двоичного канала связи ошибочный прием эквивалентен инверсному значению символа. Размерность алфавита на входе и выходе канала связи совпадает (рис. 3.14).

Рис. 3.14. Модель ошибок канала с «жестким» принятием решения

Вероятности P00 и P11 соответствуют правильному приему символа, а вероятности P01 и P10 – неправильному (ошибочному или инверсному) приему символа (вероятность ошибки).

В рассматриваемой модели имеют место следующие вероятностные соотношения:

С точки зрения соотношения вероятностей ошибки разных направлений ранее были введены понятия симметричный и асимметричный канал. Для симметричного канала вероятности ошибок разных направлений совпадают, а для асимметричного – отличаются. Для симметричного двоичного канала связи вводились следующие обозначения:

2

где p – вероятность ошибочного приема символа; q – вероятность правильного приема символа.

Большинство каналов связи описывается именно моделью симметричного канала связи с уверенным приемом (жестким принятием решения). Однако существуют ситуации, когда эффективно применение модели канала с «мягким» принятием решения. Размерность алфавита на выходе таких каналов связи больше, чем на входе, за счет появления дополнительных символов. Эти символы характеризуют некоторые значения принятых сигналов, по которым символ нельзя отнести ни к одному из алфавита на передающей стороне (неуверенный прием). Например, для двоичного канала 2 × 3 вводится дополнительный символ «х» (рис. 3.15). Подобные каналы, реализуемые ПРС, называются каналами со стиранием.

Рис. 3.15. Модель ошибок канала со стиранием

Вероятности P00 и P11 соответствуют правильному приему символа, вероятности P01 и P10 – неправильному (ошибочному, инверсному) приему символа (вероятность ошибки), вероятности P0х и P1х – неуверенному приему символа.

В рассматриваемой модели имеют место следующие вероятностные соотношения:

Назовем ошибку, которая возникает при замене одного символа другим, ошибкой перехода. Тогда ошибку, которая возникает при замене символа на «х», назовем ошибкой стирания (удаления символа). На основании вышеназванного введем для симметричного канала связи следующие обозначения:

3

где pп – вероятность ошибочного приема символа; pс – вероятность стирания символа; q – вероятность правильного приема символа.

На рис. 3.16 и 3.17 изображены примеры для приема сигнала ампли- тудно-импульсной манипуляции («0» – отсутствие импульса, «1» – импульс с амплитудой Um) в каналах с «жестким» и «мягким» принятием решения.

Um

Um/2

0 t

Рис. 3.16. Иллюстрация приема в канале с «жестким» принятием решения

Um

0 t

Рис. 3.17. Иллюстрация приема в канале с «мягким» принятием решения

При уверенном приеме (рис. 3.16) множество возможных значений информационных параметров сигнала разбивается на подмножества, количество которых совпадает с разновидностью символов (размерностью алфавита на входе канала). Для двоичного канала связи таких подмножеств два: зона уверенного приема символа «0» и зона уверенного приема символа «1». Пороговое значение для принятия решения обычно определяется как Um/2.

При неуверенном приеме (рис. 3.17) добавляется зона, в которую попадают значения информационных параметров, которые нельзя отнести ни

кодному из символов. Она имеет границы от нижнего порога (Uпн) до верхнего порога (Uпв). Попадание в зону неуверенного приема приводит

кзамене принятого символа на символ «x». Попадание в зону выше Uпв приводит к принятию решения о приеме символа «1». Попадание в зону ниже Uпн приводит к принятию решения о приеме символа «0».

4

При уверенном приеме сигнала (символа) из линии связи на выходе ПРС, реализующей «жесткое» принятие решения, наблюдается один из двух символов: «0» и «1». При неуверенном приеме сигнала (символа) из линии связи на выходе ПРС, реализующей «мягкое» принятие решения, наблюдается один из трех символов: «0», «1», «х» (рис. 3.18).

Рис. 3.18. Прием и декодирование линейного сигнала S′(t) в канале со стиранием

Поскольку ошибка стирания обнаруживается уже на уровне ПРС, то для ВРС коррекция ошибок стирания сводится только к исправлению ошибок указанного вида. Количество стираний (символов «х» в принятой кодовой комбинации) явно указывает кратность ошибок стирания.

Сформулируем несколько утверждений, связывающих избыточность (dmin) и корректирующие свойства кода в канале со стиранием.

Утверждение 3.4. Для того чтобы код исправлял любые ошибки стирания кратности ec и меньше, минимальное кодовое расстояние должно удовлетворять условию

Краткое доказательство. Необходимо применить оптимальное декодирование по критерию min кодового расстояния в уверенно принятых символах. Это означает, что нужно вычислить d({Vi},V') и принять реше-

ние в пользу того вектора Vi (i =1,2m −1), для которого d(Vi,V') = 0. Это вытекает из условия, что в уверенно принятых символах отсутствуют ошибки перехода, следовательно, min {d(Vi,V')} = 0 (ошибки стирания исправлены).

Пример 3.17. Выберем избыточный код (7,3,4). dmin = 4, поэтому согласно (3.36) ec = 3. Проведем анализ для рабочих векторов V1 = 1110100 и V2 = 0111010. Пусть принят вектор V' = 11xxx00. Определяем кодовое расстояние по уверенно принятым символам: d(V1,V') = 0, d(V2,V') = 2. По результатам вычислений делаем вывод о том, что был передан вектор V1.

Исправление ошибок стирания сводится к выбору правильного варианта замены символов «x». Аналогичные выводы позволяют сформулировать соотношения для кодов, исправляющих или обнаруживающих и ошибки перехода, и ошибки стирания.

Утверждение 3.5. Для того чтобы код обнаруживал любые ошибки перехода кратности r и меньше и исправлял любые ошибки стирания кратности ес и меньше, минимальное кодовое расстояние должно удовлетворять условию

5

Краткое доказательство. Необходимо применить оптимальное декодирование по критерию min кодового расстояния в уверенно принятых символах. Это означает, что нужно вычислить d({Vi},V') для уверенно принятых символов и принять решение. Если присутствуют только ошибки

стирания, то решение принимается в пользу того вектора Vi ( i =1,2m −1), для которого d(Vi,V') = 0. Это вытекает из условия, что в уверенно принятых символах отсутствуют ошибки перехода, поэтому min {d(Vi,V')} = 0. Если присутствуют и ошибки перехода, и ошибки стирания, то все вычисленные кодовые расстояния будут больше нуля (d({Vi},V') >0). По этому условию ошибки будут обнаружены, а сообщение стерто.

Пример 3.18. Выберем избыточный код (7,3,4). dmin = 4, поэтому согласно (3.37) r = 1 и ec = 2 (как один из вариантов). Проведем анализ для рабочих векторов V1 = 1110100 и V2 = 0111010. Пусть принят кодовый вектор V' = 11x1x00. Определяем кодовое расстояние по уверенно принятым символам: d(V1,V') = 1, d(V2,V') = 2. По результатам вычислений делаем вывод об обнаружении ошибок перехода и стирании сообщения.

Утверждение 3.6. Для того, чтобы код исправлял любые ошибки перехода кратности s и меньше и любые ошибки стирания кратности ес и меньше, минимальное кодовое расстояние должно удовлетворять условию

Краткое доказательство. Необходимо применить оптимальное декодирование по критерию min кодового расстояния в уверенно принятых символах. Это означает, что нужно вычислить d({Vi},V') для уверенно принятых символов и принять решение. Если присутствуют только ошибки

стирания, то решение принимается в пользу того вектора Vi ( i =1,2m −1), для которого d(Vi,V') = 0. Это вытекает из условия, что в уверенно принятых символах отсутствуют ошибки перехода, поэтому min {d(Vi,V')} = 0. Если присутствуют и ошибки перехода, и ошибки стирания, то все вычисленные кодовые расстояния будут больше нуля (d({Vi},V') >0). При этом выбирается минимальное кодовое расстояние (для исправления ошибок оно будет ≤ s). По этому условию ошибки перехода будут исправлены, а сообщение передано получателю.

Пример 3.19. Выберем избыточный код (7,3,4). dmin = 4, поэтому согласно (3.38) s = 1 и ec = 1. Проведем анализ для рабочих кодовых векторов

V1 = 1110100 и V2 = 0111010. Пусть принят кодовый вектор V' = 1111x00.

Определяем кодовое расстояние по уверенно принятым символам и получаем d(V1,V') = 1 = s, d(V2,V') = 2 > s. По результатам вычислений делаем

6

вывод об исправлении ошибок перехода и передаче правильного сообщения получателю.

Утверждение 3.7. Для того чтобы код обнаруживал любые ошибки перехода кратности r и меньше, исправлял любые ошибки перехода кратности s и меньше и любые ошибки стирания кратности ес и меньше, минимальное кодовое расстояние должно удовлетворять условию

Декодирование кодов при наличии ошибок указанной кратности рассмотрено в примерах 3.17, 3.18, 3.19 отдельно, поэтому рассматриваться не будет.

Методы обеспечения помехоустойчивости на приеме в ПРС сводятся к оптимальному приему сигналов на фоне помех. Но для обеспечения высокой достоверности указанных методов явно недостаточно. Это объясняется возможными искажениями в передаваемом по линии связи закодированном сообщении. Обработка кодовых комбинаций происходит во второй решающей схеме. Поэтому методы обеспечения помехоустойчивости при обработке кодовых комбинаций во ВРС сводятся к применению специальных алгоритмов декодирования.