6. Расчет установившихся режимов электрических сетей

6.1. Общие положения

Расчеты установившихся режимов разомкнутых и простых замкнутых электрических сетей рассматривались при изучении дисциплины «Передача и распределение электроэнергии». В настоящем разделе рассматриваются методы расчета установившихся режимов электрических сетей любой сложности. Сложная электрическая сеть характеризуется не только большим количеством узлов и ветвей. Главной особенностью сложной сети является наличие замкнутых контуров с общими ветвями. Такие сети называются еще сложнозамкнутыми. В отличие от разомкнутых схем, в которых питание к каждому узлу подается с одной стороны, и от простых замкнутых схем, в которых питание к каждому узлу подается с двух сторон, в сложнозамкнутой сети есть узлы, питание к которым может подаваться не менее чем с трех сторон.

Достаточно точные расчеты установившихся режимов сложных электрических сетей стали возможными после широкого применения ПК в инженерной практике. Вместе с тем применение компьютеров потребовало разработки общих методов формирования и решения уравнений установившегося режима, не зависящих от сложности и конфигурации электрической сети. Для разработки таких общих методов используются элементы матричной алгебры и теории графов.

Для расчета установившихся режимов электрических сетей могут применяться различные методы, известные из курса теоретической электротехники. Наибольшее распространение для расчета электрических сетей получил метод, основанный на использовании уравнений узловых напряжений.

6.2. Линейные уравнения узловых напряжений

Общие закономерности формирования уравнений узловых напряжений рассмотрим сначала на примере электрической цепи постоянного тока, приведенной на рис. 6.1 и состоящей из четырех узлов и шести ветвей. Узлы 1 и 4 – генерирующие, узлы 2 и 3 – нагрузочные. Источники и нагрузки представлены неизменными задающими токами –J1, –J2, J3, J4. Токи в нагрузочных и генерирующих узлах имеют разные знаки. Токи в ветвях Iij и взаимные проводимости ветвей Yij обозначены в соответствии с номерами узлов, которые эти ветви связывают. Направления токов в ветвях предварительно выбраны произвольно.

95

Y14U1+Y24U2+Y34U3+(–Y41–Y42–Y43)U4=J4.

Система с (N–1) уравнениями содержит N искомых напряжений в узлах и, следовательно, имеет бесконечное количество решений. Для однозначного определения напряжений в узлах сети необходимо задаться величиной напряжения в одном из узлов. Такой узел называется базисным по напряжению. В качестве базисного узла может быть принят любой узел, однако с целью упрощения вычислительной процедуры целесообразно базисный узел совместить с балансирующим. Поэтому в качестве базисного узла примем узел 1. Заданное напряжение в этом узле обозначим Uб.

Поскольку напряжение U1=Uб является заданным, перенесем составляющие Y12U1, Y13U1 и Y14U1 в правые части уравнений и примем для базисного и балансирующего узла 1 индекс «б». В результате получим систему

(–Y21–Y23–Y24)U2+Y23U3+Y24U4=–J2–Y2бUб;

Y42U2+Y43U3+(–Y41–Y42–Y43)U4=J4−Y4бUб.

Введем следующие обозначения:

Y22=–Y21–Y23–Y24;

Y44=–Y41–Y42–Y43.

Назовем Y22, Y33 и Y44 собственными проводимостями узлов 2, 3 и 4. Собственная проводимость узла i равна сумме взятых с противоположным знаком взаимных проводимостей ветвей, сходящихся в узле i.

С учетом обозначений (6.5) уравнения узловых напряжений (6.4) запишем в более компактном виде:

Y22U2+Y23U3+Y24U4=–J1–Y2бUб;

Y42U2+Y43U3+Y44U4=J4–Y4бUб.

97

Из (6.6) видно, что для сети постоянного тока при представлении активных элементов сети неизменными токами система уравнений узловых напряжений является линейной системой алгебраических уравнений.

В матричной форме записи система (6.6) будет иметь вид

где Y – матрица собственных и взаимных проводимостей; U – вектор-столбец напряжений в узлах;

J – вектор-столбец токов в узлах;

YбUб – вектор-столбец произведений базисного напряжения на взаимные проводимости между базисным узлом и другими узлами.

Для электрической сети, состоящей из N узлов, матрица собственных и взаимных проводимостей имеет следующие свойства:

матрица Y квадратная размерности (N–1);

матрица Y симметрична относительно диагонали, поскольку для каждой ветви Yij=Yji;

каждый недиагональный элемент матрицы Yij равен взаимной проводимости ветви, связывающей узлы i и j;

каждый диагональный элемент матрицы Yii равен собственной проводимости узла i;

если в схеме между узлами i и j отсутствует ветвь, то соответствующий элемент матрицы Y равен нулю (Yij = 0).

Для сети переменного тока проводимости всех ветвей, задающие токи источников и нагрузок, искомые напряжения и токи ветвей будут величинами комплексными. Матрицы, состоящие из комплексных величин, будем обозначать подчеркиванием.

Напряжение в базисном узле задается, как правило, действительным числом. Кроме того, для трехфазной сети переменного тока необходимо учесть, что искомые напряжения являются линейными (междуфазными). Для упрощения записи системы уравнений токи в узлах будем задавать тоже линейными значениями.

С учетом сказанного система уравнений узловых напряжений для сети переменного тока в матричной форме записи будет иметь вид

Таким образом, для сети переменного тока при представлении активных элементов сети задающими токами система уравнений узловых напряжений

98

является линейной системой алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами и комплексными искомыми переменными.

Система линейных уравнений с комплексными элементами сводится к системе линейных уравнений удвоенного порядка 2(N–1) с действительными элементами. Для этого матрица Y и вектор-столбцы U и J с комплексными

Разделив в последнем матричном уравнении действительные и мнимые части, получим систему линейных алгебраических уравнений порядка 2(N–1) с действительными элементами:

GU'+ByU"=J'–GбUб;

Система (6.11) содержит 2(N–1) искомых напряжений U'i и U"i , где i=2, 3, ... N.

Полная запись системы (6.11) для электрической сети переменного тока, приведенной на рис. 6.1, будет иметь вид

g22U2'+g23U3'+g24U4'+b22U2''+b23U3''+b24U4''=–J2'–g2бUб;

g32U2'+g33U3'+g34U4'+b32U2''+b33U3''+b34U4''=J3'–g3бUб;

g42U2'+g43U3'+g44U4'+b42U2''+b43U3''+b44U4''=J4'–g4бUб; (6.12)

–b22U2'–b23U3'–b24U4'+ g22U2''+g23U3''+g24U4''=–J2''–b2бUб;

–b32U2'–b33U3'–b34U4'+ g32U2''+g33U3''+g34U4''=J3''–b3бUб;

–b42U2'–b43U3'–b44U4'+ g42U2''+g43U3''+g44U4''=J4''–b4бUб.

99