36 Математическое моделирование энергосистем и задач оптимизации.
Модель - это заместитель оригинала, позволяющий изучить или фиксировать некоторые свойства оригинала.
Цели моделирования: обоснование достоверности мат. описаний; получение функц-ых связей между величинами; сравнение конечного числа стратегий решения индивидуальной проблемы, т.е. ответ на вопросы: что будет, если...?; идентификация модел-ой системы; оптимизация модели. Выбор целевых функций; применение моделирования для обучения и тренировки (доведение пром. образца до практического применения; модель позволяет отразить реальную картину).
Определение оптимальных значений параметров элементов технической системы известной структуры – задача параметрического синтеза или параметрической оптимизации.
Совокупность формул, позволяющих для заданного набора значений конструктивных параметров x1, x2,…, xn рассчитать изделие и определить все его характеристики, в том числе значения функций ограничений и критерия оптимальности, называется математической моделью проектируемого изделия.
Формализация задачи оптимального проектирования состоит в математическом описании основных элементов процесса выбора (варьируемых параметров и критерия), связей и ограничений, налагаемых на значения параметров. Итак, прежде всего должен быть выделен некоторый набор конструктивных параметров (переменных)x1, x2,…, xn
значения которых определяют проектируемое изделие, и выбор этих значений предоставлен конструктору.
В большинстве подходов к оценке технического объекта принято ориентироваться на эталонные образцы, на мнение ведущих специалистов отрасли (экспертные оценки) или на технико-экономические показатели, определяемые ТЗ на проектирование.
Набор n чисел х= x1, x2,…, xn может быть представлен точкой в n-мерном евклидовом пространстве Еn, тогда условия и ограничения, накладываемые на возможные изменения значений конструктивных параметров, зададут некоторую область D в Еn , которой точка х должна принадлежать.
Критерий, по
которому сравниваются два варианта,
например х=(x1,
x2,…,
xn
) и х\=(
x\1,
x
\2,…,
x\
n),
представляется в виде числовой функции
отn
переменных, причем считается, что х
лучше
,
если
.
Таким образом, задача поиска наилучшей
конструкции, т.е. выбора наилучшей
возможной комбинации параметров (x1,
x2,…,
xn
), состоит
в поиске такой точки (вектора)
,
в которой функцияF
достигает минимума, т.е.
Как правило, в задачах оптимального проектирования область D задается системой неравенств или равенств:
(2.1)
Эти ограничения
возникают из требований, предъявляемых
к некоторым характеристикам проектируемого
изделия, определяемым через конструктивные
переменные с помощью функций gi(x).
Пользуясь ограничениями
,
можно выразить одни конструктивные
параметры через другие и тем самым
уменьшить количество варьируемых
параметров, или, как говорят, понизить
размерность. Поэтому будем считать, что
эта операция уже произведена и в
ограничениях (1), описывающих областьD,
присутствуют только неравенства
приi=1,…,m.
Решение задачи оптимального проектирования сводится к выбору управляемых параметров Х, принадлежащих допустимой области D и обеспечивающих экспериментальное значение критерия оптимальности F(x)
(2.2)
Задача (2.2), как сказано выше, называется задачей параметрической оптимизации. Оптимальным решением этой задачи является вектор х*, удовлетворяющей системе неравенств и обеспечивающей минимальное значение критерия оптимальности.
В зависимости от числа П управляемых параметров, структуры допустимой области D и вида критерия оптимальности F(x) задача оптимального проектирования приводится к различным классам математических моделей принятия оптимального решения в рамках введенной модели (2.2)
Задачи оптимального проектирования в математической постановке обладают определенными особенностями, которые выделяют их среди всех задач нелинейного программирования, т.е. задач поиска точки оптимума некоторой нелинейной функции в допустимой области D, граница которой задана с помощью нелинейных ограничений gi(x)≤0.
Какие же трудности могут возникнуть на пути построения более точной формальной модели процесса проектирования?
Во-первых, не всегда, вернее почти никогда, качество проекта не оценивается одним или двумя показателями. Как правило, имеется набор критериев F1(x),…, FN(x), каждый из которых хотелось бы сделать максимальным. Но обычно увеличение одного из критериев влечет за собой уменьшение другого. Поэтому возникает проблема нахождения некоторого компромисса между критериями.
Во-вторых, не все факторы, влияющие на качество проекта, могут быть произвольно изменены и, следовательно, некоторые из них могут находиться вне нашего контроля. Поэтому помимо конструктивных параметров (факторов) x1,…, xn, нужно учитывать наличие неких неконтролируемых факторов q1,…, qk. Таким образом, более общая математическая модель разработки проекта состоит из :
а) набора конструктивных факторов x1, x2,…, xn;
б) набора неконтролируемых факторов q1,…, qk;
в) набора ограничений gi(x1,…, xn, q1,…, qk)≤0;
г) набора критериев – показателей качества изделия Fj(x1,…, xn, q1,…, qk), j=1,…, N