4.3. Переходные и импульсные характеристики сау `

Временные характеристики линейной САУ (динамического звена) могут быть определены по ее переходной и импульсной переходной функции.

Одним из наиболее распространенных тестовых воздействий на систему является единичное ступенчатое воздействие x(t), которое может быть представлено в виде функции

(4.12)

или в виде графика, приведенного на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Единичное ступенчатое воздействие

на систему

Следует отметить, что ступенчатое воздействие на входе САУ это не только типовое тестовое воздействие. Оно относится к одному из наиболее распространенных программно-временных задающих воздействий, прежде всего, в системах цифрового управления, задающие и управляющие воздействия которых квантованы по уровню.

Переходная функция (переходная характеристика) h(t)– это нормальная реакция системы (переходный процесс), вызванная входным единичным ступенчатым воздействием при нулевых начальных условиях. Переходные функции САУ определяют, как правило, по формулам Хевисайда или методом математического моделирования. Для наиболее широко распространенных динамических звеньев САУ имеются аналитические выражения их переходных функций [2, 12, 19].

Импульсная единичная функция (дельта-функция Дирака)относится также к тестовым сигналам САУ, характеризующим ее свойства во временной области. Она представляет собой производную от единичной ступенчатой функции

. (4.13)

Дельта-функцию можно трактовать как бесконечно короткий по времени импульс с бесконечно большой амплитудой, но с конечной площадью, равной единице.

Нормальная реакция САУ на импульсное воздействие – импульсная переходная функция (весовая функция) w(t) системы. Ее легко получить численным или графическим дифференцированием переходной функции. Для наиболее широко распространенных динамических звеньев САУ в учебниках по теории управления приводятся аналитические выражения их весовых функций [2, 12, 19-21].

Переходные и весовые функции типовых элементарных динамических звеньев приведены в главе 5.

4.4. Уравнение Лагранжа 2-го рода и дифференциальные уравнения

Математические модели технических средств, систем автоматизации и управления весьма многообразны и могут быть достаточно сложными. В частности, на сложность электромеханических систем управления влияет множество факторов: число, тип и последовательность звеньев (кинематических пар), компоновочные схемы размещения приводов механических подсистем и конструкции передаточных механизмов, наличие устройств уравновешивания и динамической развязки движений и др. Для определения их математических моделей, в общем случае, применяют весьма сложные уравнения Лагранжа-Максвелла.

Механические системы, как правило, имеют значительно большую инерционность по сравнению с инерционностью электромагнитных цепей электроприводов, приводящих их в движение, что позволяет при составлении математических моделей механических систем в форме дифференциальных уравнений использовать более простые уравнения Лагранжа 2-го рода [19]:

, (4.14) гдеq,,–векторы обобщенных координат, скоростей и обобщенных сил;

– кинетическая энергия механической системы.

Решение уравнения (4.14), т. е. математическую модель механического объекта управления представляют в форме системы обыкновенных дифференциального уравнений, разрешенных относительно вторых производных обобщенных координат (обобщенных ускорений), т. е.

. (4.15)

Для составления уравнений Лагранжасоставляют расчетную схему механической системы, учитывающую геометрические размеры механических звеньев, тип и распределение (порядок расположения) кинематических пар, массы звеньев, упругие свойства кинематических связей.

Составление дифференциальных уравнений движения материальной системы на основе уравнений Лагранжа проводят в следующей последовательности:

1. определяют число nстепеней свободы материальной системы;

2) выбирают систему координат и вводят независимые обобщенные координаты q₁,q₂ ,…,q_n ; - вектор обобщенных координат; их число должно быть равно числуnстепеней свободы механической системы;

примечание: обобщенные координаты – независимые параметры, однозначно определяющие положение точек материальной системы;

3) определяют обобщенные силы системы Q₁,Q₂,…, Q_n;- вектор обобщенных сил;

примечание 1: для определения обобщенной силы Q_i , соответствующейi-й обобщенной координате, надо вычислить сумму работ всех активных сил, включая реакции неидеальных связей, на обобщенном возможном перемещении; при этом все остальные обобщенные возможные перемещения принимают равными нулю; тогда

; (4.16)

примечание 2: если силы, действующие на систему потенциальны (однозначно определяются только положением материальных точек системы), то обобщенную силу Q_iможно найти как частную производную потенциальной энергии по обобщенным координатам, т. е.

, (4.17)

где потенциальная энергия системы E_попределяется как функция обобщенных координат, т. е.E_п=; потенциальная энергия, создаваемая силами тяжести звеньев механической системы, дляi-го звена массойm_iравна, где- высота подъема центра массi-го звена,g– ускорение силы тяжести; потенциальная энергия, создаваемая силами упругости упругого звена (например, пружины), дляi-го звена равна, гдес_i– жесткость упругого звена,- угол закручивания (приращение обобщенной координаты);

4) вычисляют кинетическую энергию E_ксистемы как функцию обобщенных координат и скоростей т. е.; кинетическая энергия материальной системы определяется как сумма кинетических энергий всехnматериальных точек системы

. (4.18)

Использование формулы (4.18) ориентировано на концепцию распределенных масс механической системы и требует определение абсолютных скоростей достаточно большого множества материальных точек системы с массамиm_i.

Кинетическая энергия в частных случаях движения твердого тела:

- при поступательном движении: , гдеm– масса твердого тела,v– скорость любой его точки;

- при вращательном движении вокруг неподвижной оси: , гдеJ_Z – момент инерции твердого тела относительно осиZвращения, – угловая скорость вращения;

- при вращательном движении вокруг неподвижной точки: , гдеJ – момент инерции твердого тела относительно мгновенной оси вращения, – модуль мгновенной угловой скорости.

Если в твердом теле удается выделить оси материальной симметрии и, соответственно, главные центральные оси инерции, то кинетическую энергию тела определяют по формуле

, (4.19)

где - осевые моменты инерции твердого тела;

- проекции мгновенной угловой скорости на соответствующие координатные оси.

5) определяют частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям, т. е. , а затем вычисляют их производные по времени:

;

6) находят частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам, т. е. ;

7) полученные в п. п. 3-6 результаты подставляют в уравнение (4.14) и дифференциальные уравнения разрешают относительно вторых производных по времени обобщенных координат, т. е. записывают уравнение движения механической системы в форме (4.15).

В качестве примера составления уравнения Лагранжа рассмотрим кинематическую схему маятника, приведенную на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Кинематическая схема маятника

1) Число степеней свободы материальной системы n= 1.

2) В качестве обобщенной координаты механической системы примем угол отклонения нити маятника от вертикальной оси.

3) Для определения обобщенной силы Q₁ (n=1) надо вычислить сумму работ всех активных сил, включая реакции неидеальных связей, на обобщенном возможном перемещении. Единственной активной силой является сила тяжести маятникаP=mg. Так как нить рассматривается нерастяжимой, то она является идеальной связью. Работа силы тяжести на возможном перемещении:

.

Заметим, что работа является отрицательной, т. к. знаки вращающего момента, вызванного силой Pи приращения, разные.

Отсюда с учетом (4.16)

.

Полученная обобщенная сила имеет размерность момента (нм).

Обобщенная сила Q₁может быть определена иначе - на основе расчета потенциальной энергии системы:

.

4) Кинетическая энергия системы (твердого тела с массой m) при вращательном движении вокруг неподвижной оси:

,

где J_Z – момент инерции твердого тела относительно осиZвращения, направленной перпендикулярно плоскости рисунка; для невесомой нити и точечной массыmимеем;

– угловая скорость вращения.

5) Частная производная кинетической энергии по обобщенной скорости , а ее производная по времени

.

6) Кинетическая энергия E_кне зависит от обобщенной координаты, а, следовательно, частная производная кинетической энергии по обобщенной координате.

7) После подстановки полученных выражений в уравнение Лагранжа (4.14) получим

(4.20)

или с учетом допущений, принятых для нити и массы маятника

. (4.21)

Полученные дифференциальные уравнения (4.20), (4.21) являются динамическим уравнением движения маятника.