4.2. Статические и динамические характеристики сау

Статические режимы САУхарактеризуются установившимися состояниями при неизменных входных воздействиях. Уравнения статики легко получить из уравнений динамики САУ путем приравнивания в них нулю всех производных по времени переменных (координат состояния) и внешних воздействий. В операторных уравнениях и на структурных схемах (см. гл. 5) линейных САУ это эквивалентно нулевой частоте изменения переменных, что достигается приравниванием нулю оператораp.

Таким образом, статическая характеристика системы– это зависимость выходной переменной от какой-либо входной переменной в статическом (установившемся) режиме.

Примером статической характеристики является механическая характеристика двигателя постоянного тока (ДПТ) – зависимость угловой частоты вращения вала двигателя от момента нагрузки на валу в установившихся режимах (рис. 4.1). Как видим, при увеличении нагрузки на валу двигателя скорость вращения вала двигателя падает и появляется статическая ошибка регулирования скорости. При изменении нагрузки от нуля до номинального значения M_снскорость вращения уменьшается от скорости холостого ходадо номинальной скорости.

В номинальном режиме статическая ошибка регулирования скорости вращения

. (4.1)

Рис. 4.1. Статическая механическая

характеристика ДПТ

Найдем выражения для установившейся ошибки регулирования при изменении задающих или возмущающих воздействий линейной системы управления.

Передаточная функция любой замкнутой линейной САУ с отрицательной обратной связью (рис. 4.2) определяется передаточными функциями прямого и обратногоканалов регулирования (см. гл. 5.3)

. (4.2)

Рис. 4.2. Структурная схема

замкнутой САУ

Отсюда изображение ошибки регулирования в системе

, (4.3)

а передаточная функция по ошибке

. (4.4)

Как следует из (4.3), ошибка регулирования будет стремиться к нулю при X = const, если, что предполагает реализацию бесконечно большого усиления в устройстве управления и может привести к неустойчивости системы. Кроме того, реальные динамические звенья обладают конечными коэффициентами усиления, что приводит к возникновению ненулевойстатической ошибки регулирования.

Между тем, статическая ошибка регулирования в системе при неизменном входном воздействии может быть сведена к нулю, если сделать равной нулю передаточную функцию ошибки по задающему или возмущающему воздействию приp=0. Для этого достаточно в прямой или обратный канал регулирования системы, приведенной два рис. 4.2, ввести интегрирующее звено. На практике интегрирующее звено вводят в структуру устройства управления, применяя И-, ПИ-, ПИД-регуляторы. Это обеспечиваети, тем самым нулевую статическую ошибку регулирования.Такие системы принято называть астатическимипервого порядка по задающему или (и) возмущающему воздействию. Для придания системе астатизма более высокого порядка в структуру регулятора вводят соответствующее число интеграторов.

Величина установившейся ошибки регулирования, наличие и порядок астатизма замкнутой САУ определяются не только ее моделью, но и видом входного сигнала. Определим, как вид входного воздействия влияет на величину установившейся ошибки.

Передаточную функцию прямого канала запишем в виде

, (4.5)

где K– коэффициент передачи,

z_i,p_j– полюсы и нули передаточной функции (4.5).

Для определения величины установившейся ошибки рассмотрим случай единичной обратной связи, т. е. =1.

В установившихся режимах (при p = 0) передаточную функцию (4.4) можно записать в виде

, (4.6)

где K_i– коэффициент ошибки системы, определяемый видом входного воздействия,i = 0, 1, 2.

Поскольку в качестве типовых тестовых сигналов применяют ступенчатое, линейное и квадратичное входное воздействие, то для оценки установившихся ошибок в системе выделяют 3 типа коэффициентов ошибок:

1) коэффициент ошибки по положению (i = 0)

; (4.7)

2) коэффициент ошибки по скорости (i = 1)

; (4.8)

3) коэффициент ошибки по ускорению (i = 2)

. (4.9)

Как следует из выражений (4.3)…(4.9), установившиеся ошибки САУ могут иметь нулевое, бесконечное или постоянное значение в зависимости от числа интеграторов в передаточной функции W₁(p) и типа входного сигнала. Установившиеся ошибки для трех типов входных воздействий и трех типов передаточной функцииW₁(p) – с отсутствием интеграторов, с одним и двумя интеграторами – приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Число интеграторов	Входной сигнал
	Ступенчатый	Линейный	Квадратичный
0
1
2

Динамические режимы САУхарактеризуются переходными состояниями системы при изменении входных (задающих и возмущающих) воздействий. При этом различают свободные и вынужденные переходные процессы.

Назовем процесс вынужденным, если промежуток времени между моментомt_з(t_в) приложения задающего (возмущающего) воздействияX(t) и моментом наблюдения выходной величиныY(t) равен бесконечности. В дальнейшем будем полагать моменты времени приложения воздействий равными нулю. Тогда процесс изменения выходной величиныY(t) в соответствие с теоремой свертывания (умножения изображений) будет иметь вид [19]

, (4.10) где- импульсная переходная функция по внешнему (задающему или возмущающему) воздействию.

Свободный (собственный) процессв системе определяется решением однородного дифференциального уравнения, описывающего САУ. Он протекает под действием ненулевых начальных условийY(t₀) и в устойчивых системах асимптотически затухает:

, (4.11)

где – матрица перехода системы из начального состоянияY(t₀) в текущее состояниеY(t). Понятие и расчет матрицы перехода рассмотрены в гл. 9.3.

Полное решение уравнения движениялинейных САУ представляет собой сумму решений уравнений свободного и вынужденного движений.

В качестве примера на рис. 4.3 приведена реакция электродвигателя постоянного тока (полное решение уравнения движения) на ступенчатое приложение номинальной нагрузки M_сн (возмущающего воздействия) к его валу.

При приложении нагрузки скорость двигателя падает, причем имеет место колебательный процесс. Максимальный динамический провал скоростипревышает статическое падение скорости(см. рис. 4.1).

Рис. 4.3. Реакция электродвигателя

на возмущающее воздействие

в виде ступени нагрузки на валу

Вынужденное движение соответствует новому установившемуся состоянию - номинальной скорости электродвигателя. Время переходного процесса (перехода в новое установившееся состояние) составляетt_р .