10.2. Математическое описание дискретных систем

Математическое описание, анализ и синтез дискретных систем осуществляют с применением метода Z-преобразования (дискретных передаточных функций), разностных уравнений или метода переменных состояния.

10.2.1. Z-преобразование и дискретные передаточные функции

Преобразование Лапласа квантованного по времени сигнала f(kT) имеет вид

(10.7)

Сделаем замену , что позволит получитьZ-преобразованиевида

(10.8)

где z- комплексная переменная, действительная и мнимая части которой определяются как

,

,

где

Анализ проекций комплексной переменной zна оси Re(z) иIm(z) позволяет сделать вывод, что область устойчивости дискретной САУ на комплексной плоскости ограничена окружностью единичного радиуса. Именно в этом случае действительные части корней характеристического полиномаW(p) отрицательны.

Физический смысл сомножителя при функцииf (kT) - взятие ее текущего (k= 0) и предшествующих дискретных значений (k= 1, 2, …).

В инженерной практике для описания динамических звеньев дискретных САУ (объектов управления, регуляторов, фильтров и т. п.) применяют дискретные передаточные функции(ДПФ) вида

(10.9)

где X(z),Y(z) – соответственно входная и выходная переменные дискретного звена. Следует отметить, что практически реализуемые ДПФ должны иметь порядок полинома знаменателя не менее порядка полинома числителя.

Способы получения ДПФ:

1) Прямой способ (прямое дискретное преобразование Лапласа) сводится к следующему:

x(t) x(kT) X(z)

y(t) y(kT) Y(z) Чтобы получить прямое дискретное преобразование Лапласа сигналаx(t), необходимо заменить этот сигнал дискретными значениямиx(kT). Каждое значениеx(kT) домножить наz^-k, а затем полученный степенной ряд свернуть в конечную сумму (10.7), которая, по сути, представляет собой дискретное преобразование ЛапласаX(z). Аналогично получают прямое дискретное преобразование Лапласа сигналаy(t). Прямоеz-преобразование является однозначным преобразованием. Обратное преобразование Лапласа,

т. е. переход от x(kT) кx(t), является неоднозначным, т. к., в общем случае, неизвестно поведение функции в промежутках между срабатыванием импульсного квантователя (замыканиями ключа).

Следует отметить, что, хотя прямое преобразование Лапласа является однозначным, одно и то же динамическое звено может иметь бессчетное число дискретных передаточных функций в зависимости от применяемого метода экстраполяции. В частности, интегрирующее звено может быть представлено следующими дискретными передаточными функциями:

,(10.10)

,(10.11)

, (10.12)

, (10.13)

где T– такт квантования, 01 .

Первая и вторая передаточные функции получены с применением экстраполяции нулевого порядка (метода прямоугольников), причем оценка производной выходного сигнала осуществляется соответственно вk-й и

(k-1)-й моменты времени, реализуянеявный и явный методы Эйлера.

Третья передаточная функция получена с применением метода Тастина(метода трапеций), причем усредненная оценка производной выходного сигнала осуществляется по двум точкам – вk-й и (k-1)-й моменты времени, т. е. смещена на 0,5Tвлево от момента времениkT.

Четвертая передаточная функция (семейство передаточных функций) получена на основе метода прямоугольников с произвольной смещенной оценкой производной выходного сигнала (=var) .

Дискретные передаточные функции дифференцирующего звена могут быть получены из приведенных выше путем перестановки полиномов числителя и знаменателя.

2) С помощью таблицы z-преобразований [2, 6, 10].

В табл. 10.1 приведено Z-преобразование наиболее часто встречающихся в САУ функций на основе экстраполяции вида (10.11).

Таблица 10.1

x(t)	X(p)	X(z)
1	2	3
	1	1
1(t)
t

Продолжение табл. 10.1

1	2	3
sin
cos
sin
cos

3) Через импульсную переходную характеристику

. (10.14)

Замечание:все приведенные выше преобразования относятся к дискретным системам без фиксатора (экстраполятора нулевого порядка). При необходимости формирования непрерывной кусочно-ступенчатой функции времени последовательно с этими ДПФ необходимо включить звено с передаточной функцией (10.6).

ДПФ систем с фиксаторомимеет вид:

(10.15)

где W_н(p) – передаточная функция непрерывной системы,

Z – операторZ-преобразования.

К ДПФ и соответствующим структурным схемам применимы те же правила структурных преобразований, что и для непрерывных систем.

В системе Matlabимеются специальные функции, позволяющие преобразовать непрерывную передаточную функцию в ДПФ и обратно:c2dиd2c. Рассмотрим пример преобразования непрерывной передаточной функции, описывающей двигатель постоянного тока, в ДПФ. Пусть электродвигатель описывается звеном 2-го порядка и имеет параметры, соответствующие (8.16). Тогда непрерывная ПФ будет иметь вид:

.

Запишем скрипт MATLAB, полагая, что такт квантованияT=0,01 с:

num=[2];

den=[0.02 1 4];

sysc=tf(num,den); % Формирование непрерывной ПФ

sysd=c2d(sysc,0.01) % Формирование ДПФ

T=[0:0.01:1]; % Задание параметров вычислений

step(sysd,T) % Расчет переходного процесса

Transfer function:

0.004254 z+ 0.003602

---------------------- .

z^2 - 1.591z+ 0.6065

На рис. 10.4 приведена схема набора модели в среде Simulink, а на рис. 10.5 изображен переходный процесс в дискретной САУ при подаче на якорную цепь электродвигателя ступеньки напряжения 1В.

Рис. 10.4. Схема набора дискретной модели электродвигателя

Рис. 10.5. Переходный процесс в электродвигателе

Как следует из графика, при заданном такте квантования T=0,01с переходный процесс практически идентичен переходному процессу в непрерывной САУ (см. рис. 8.4).