6.3. Частотные критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости для систем выше четвертого-пятого порядка становятся трудоемкими для вычисления и не обладают наглядностью. Поэтому на практике широкое распространение получили частотные критерии устойчивости, такие как критерий Михайлова и критерий Найквиста. Эти критерии базируются на применении частотных характеристик и принципа аргумента. Частотные критерии позволяют не только определить устойчивость системы, но и оценить ее относительную устойчивость (запасы устойчивости по амплитуде и фазе), а также подсказать, как следует изменять параметры системы для повышения относительной устойчивости.

6.3.1. Критерий Михайлова

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид (6.9). Заменим в нем оператор pна. Тогда кривой Михайлова будет называться функция вида

. (6.15)

Выделим в (6.15) действительную и мнимую части:

(6.16)

Разложим на множители

,

где l_i– корни данного уравнения,i=1…n.

Рассмотрим суть принципа аргумента. Каждому корнюl_iна комплексной плоскости соответствует некоторая точкаA_i. Если соединить эту точку с нулем, то можно говорить о векторе(рис. 6.3). Длина вектора равна модулю комплексного числаl_i, а угол, образуемый положительной действительной осью и векторомl_i, есть аргумент комплексного числаl_i.

Рис. 6.3. Размещение корня

характеристического уравнения

на комплексной плоскости

Рассмотрим, как будет вести себя вектор при изменении частоты от -∞ до +∞. Считаем движение против часовой стрелки положительным. Заметим, что, а(см. рис. 6.3). Тогда для корней, находящихся в левой части комплексной плоскости при изменении частоты, векторописывает угол +p . Для корней, находящихся в правой полуплоскости, векторпри изменении частотыопишет угол -p­ .

Будем полагать, что порядок системы равен п, причемmкорней положительно. Тогда остальныеп-ткорней будут отрицательны. Суммарный угол поворота всех векторов будет определяться выражением:

. (6.17)

Очевидно, что при изменении частоты от 0 до +∞ приращение аргумента будет вдвое меньше:

. (6.18)

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все правые корни были равны нулю и отсутствовали чисто мнимые корни, а значит для устойчивости системы необходимо соблюдение условий

(6.19)

(6.20)

Выражения (6.19) и (6.20) представляют собой математическую формулировку критерия Михайлова.

Конформное (подобное) отображение кривой Михайлова на комплексной плоскости Re(ω),Im(ω) носит названиегодографа Михайлова. Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ∞, начав свое движение с положительной полуоси, последовательно проходилnквадрантов комплексной плоскости, нигде не обращаясь в ноль (рис. 6.4).

Как следствие из критерия Михайлова вытекает, что корни уравнений (6.16) устойчивых САУ должны чередоваться, поскольку вещественная и мнимая координатные оси должны пересекаться годографом поочередно.

Очевидно, что, если годограф Михайлова не проходит последовательно nквадрантов или начинается не на положительной вещественной полуоси, то система неустойчива.

Рис. 6.4. Годографы Михайлова устойчивых САУ 1…4 порядка