3. Численные методы определения кин.

Аналитические решения задач для тел с трещиной получены только для некоторых частных случаев, они сведены в таблицу. Поэтому при решении большинства реальных задач для оценки НДС и КИН используют численные методы.

Метод конечных элементов.

Условно разделяют на прямые и энергетические методы определения КИН.

Прямые методы.

Один из основных методов (асимптотические методы) основан на использовании асимптотических формул и заключается в следующем: с использованием любого численного метода определяется НДС вблизи вершины трещины; затем в формулу (5.20) подставляются значения тензора напряжений и определяется .

; ;

; . (5.20)

Преимущества: возможность использования стандартных процедур и программ.

Недостатки: погрешность решения зависит от погрешности конечно-элементной аппроксимации, т.е. необходимо мелкое разбиение в вершине трещины; коэффициент интенсивности характеризует скорость изменения напряжений, поэтому нужно рассматривать точку как можно ближе к вершине трещины, вследствие чего получаем большую погрешности численного решения.

Пути повышения точности решения: использование мелких сеток; поэтапное решение задачи с постепенным сгущением сетки в вершине трещины; использование сингулярных конечных элементов.

Энергетические методы.

Данные методы определения КИН основываются на использовании зависимости коэффициента интенсивности напряжений от изменения потенциальной энергии упругого деформирования формула (5.21).

; (5.21)

для плоско-напряженного состояния, в случае плоско-деформированного состояния значение «приведенного» модуля Юнга вычисляется по формуле (5.22):

. (5.22)

Метод податливости (метод полной энергии).

В изотермических задачах теории упругости изменение потенциальной энергии упругого деформирования при изменении длины трещины равно работе внешних сил (5.23).

. (5.23)

В методе конечных элементов это реализуется по следующей схеме:

; (5.24)

; (5.25)

, (5.26)

где -м индексом обозначены узлы в которых приложена внешняя нагрузка.

, (5.27)

В матричном виде:

; (5.28)

, (5.29)

где , - узловые усилия и перемещения.

Порядок решения задачи:

В силу симметрии можно рассматривать половину тела с трещиной. Трещина в МКЭ задается свободной поверхностью (узлы не закреплены). Приращение длины трещины моделируется высвобождением узла перед вершиной трещины.

l₀

l

Рис. 6. – Конечно-элементная модель тела с трещиной.

Для выбранной конечно-элементной сетки (Рис. 6); при длине трещины и заданной внешней нагрузки решается задача теории упругости (определяем НДС). Находим матрицы узловых перемещений . На этой же сетке конечных элементов и при той же нагрузке, но при длине трещины () решаем задачу нахождения матрицы узловых перемещений . Найденные величины подставляем в формулу (5.29) и определяем КИН.

Преимущества метода: использование одной и той же конечно-элементной сетки исключает систематическую ошибку. Возможность использования грубого разбиения, за исключением области вершины трещины, где задается приращение длины трещины.

Недостатки: можно использовать только там, где справедливо соотношение (5.21), справедливо только для плоских случаев (трещин), в основном на модельных задачах.

Метод виртуального роста трещины.

Приращение роста трещины задается смещением узла (Рис. 7).

Рис. 7. – Схема смещения узла КЭ сетки.

Меняется геометрия – меняется и матрица жесткости.

(5.30)

Дифференцирование матрицы сводится к вычислению приращений (их отношения).

(5.31)

Метод граничных элементов (Рис. 8).

С помощью любого МГЭ (по аналогии с МКЭ) можно определить НДС и с использованием сингулярных формул либо других зависимостей определить КИН. В качестве граничного элемента выступает трещина.

Метод разрывных смещений.

В данном методе постановка физической и математической задачи совпадают. Следовательно, для оценки НДС этот метод является одним из наиболее предпочтительных,

Рис. 8. – Граничный элемент.

где

– разрыв смещений. (5.32)

Решение задачи теории упругости имеет вид:

(5.33)

(5.34)

(5.35)

(5.36)

(5.37)

Рассмотрим пример:

Трещина нормального отрыва в бесконечной плоскости под действием внутреннего давления (Рис. 9).

Рис. 9. – Тело с трещиной, нагруженное внутренним давлением.

, ;

, ;

, . (5.38)

На бесконечности:

.

Разделим трещину на отрезков (граничных элементов). Предположим, что граничные элементы настолько малы, что разрыв смещения в направлении оси y в пределах каждого элемента можно считать постоянным. Нормальное напряжение в точке , вызванное постоянным вдоль отрезка разрывом смещения равно (5.39):

. (5.39)

Если разрыв смещений имеет место на отрезке с центром в точке , то значение нормального напряжения будет вычислено по формуле (5.40):

, (5.40)

где – разрыв смещений на отрезке .

Напряжение в центре -го элемента, вызванное разрывом смещений в -ом элементе, находится путем подстановки вместо :

. (5.41)

Согласно принципу суперпозиции, напряжение в центре -го элемента, вызванное разрывами смещений во всехэлементах, равно:

, (5.42)

где – коэффициенты влияния, находятся по формуле (3.43):

. (5.43)

Численное решение задачи о трещине под действием внутреннего давления определяется из решения системы с независимыми:

. (5.44)

Эти уравнения можно решить относительно (Рис. 10):

Аналитическое решение

Численное решение

Рис. 10. – Сравнение аналитического и численного решений.

4. Определение НДС для анизотропного случая.

Уравнения теории упругости для ортотропного материала:

;

; (5.45)

;

; ; .

Для обобщенного плоско-напряженного состояния:

;

; (5.46)

.

Для обобщенного плоско-деформированного состояния:

; ;

. (5.47)

Для ПДС закон Гука для ортотропной среды можно записать в следующем виде

(исключив ):

;

; (5.48)

,

где коэффициенты описываются формулами (5.49):

;

;

; (5.49)

;

;

.

Можно записать коэффициенты через технические постоянные (5.50):

; ;

; , (5.50)

где , , , , – эффективные упругие характеристики.

Таким образом, заменяя технические постоянные на можно показать, что уравнения, описывающие ПНС и ПДС имеют один и тот же вид.

Рассмотрим решение для ортотропного тела с трещиной. Дифференциальное уравнение (5.51) для плоской задачи теории упругости (для ортотропного материала) впервые было получено Лехницким:

, (5.51)

где функция Эри.

Введем оператор ( ):

. (5.52)

Тогда основное уравнение относительно запишется в форме:

,

где - корни характеристического уравнения (комплексно-сопряженые величины) в научной литературе иногда обозначают ,; - действительные числа:

;

; (5.53)

.

Уравнение Лехницкого (5.51) может быть использовано для задачи определения НДС для бесконечной ортотропной среды с трещинами различного типа.

Решение для трещины нормального отрыва (5.54) имеет вид:

;

;

;

;

;

; (5,54)

;

;

.

Для трещины поперечного сдвига (5.55):

;

;

;

; (5.55)

.

Для трещины продольного сдвига (5.56):

;

; (5.56)

,

где – действительная часть от комплексного числа, – мнимая часть от комплексного числа.

Анализ решений:

– для анизотропного и для изотропного случаев в решении присутствует сингулярность по напряжениям, ее порядок – ½. Это следствие того, что решение получено по теории упругости (материал работает только в упругой области) и в вершине напряжения стремятся к бесконечности;

– в анизотропном случае (в отличие от изотропного) решение зависит не только от КИН и координат, но и от упругих характеристик материала.

16