8. Определение перемещений статически неопределимых систем

Перемещения статически неопределимых систем можно вычислять по известной формуле Мора. В системах с преобладанием изгибных деформаций (например, в рамах и балках) она имеет вид:

D=dx=M.

Здесь и M – эпюры моментов от единичной силы и нагрузки в заданной статически неопределимой системе. К сожалению, построение этих эпюр связано с решением трудоемких задач раскрытия статической неопределимости.

Задача несколько упрощается, если одну из этих эпюр строить в статически определимой основной системе и использовать формулы D=M или D=M_P, где иM_P – единичная и грузовая эпюры, построенные в любой основной системе метода сил.

9. Расчет симметричных рам

Симметричными называются системы, расчетные схемы которых симметричны относительно некоторой оси.

Расчет любой симметричной рамы (рис. 8.1 а) можно упростить, если воспользоваться ее симметрией и разложить внешнюю нагрузку на симметричную (рис. 8.1 б) и кососимметричную (рис. 8.1 в) нагрузки.

Рис. 8.1

В этом случае, несмотря на то что раму приходится рассчитывать дважды, выбор основной системы, показанной на рис. 8.2 а дает значительный выигрыш в вычислениях.

Рис. 8.2

Канонические уравнения будут:

X₁+X₂+X₃+D_1P=0,

X₁+X₂+X₃+D_2P=0,

X₁+X₂+X₃+D_3P=0.

Во всех трех единичных состояниях построим эпюры моментов (рис. 8.2 б, в, г). Из них две эпюры (рис. 8.2 б, г) – симметричные, а одна (рис. 8.2 в) – кососимметричная. Симметричная (с) и кососимметричная (кс) эпюры взаимно-ортогональны и их “произведение” равно нулю:

Ä=0.

Поэтому некоторые коэффициенты системы канонических уравнений обращаются в нуль: ==0и ==0, а система канонических уравнений распадается на две независимые системы:

Таким образом, при расчете симметричной рамы некоторые коэффициенты можно не вычислять, а решение большой системы канонических уравнений заменить решением двух систем уравнений значительно меньших размеров.

а) Расчет на симметричную нагрузку

Так как эпюра изгибающих моментов при действии симметричной нагрузки также является симметричной (рис. 8.2 д), она ортогональна кососимметричной эпюре . Следовательно,_2P=0. Поэтому, как следует из уравнения (2), X₂=0. Таким образом, при симметричной нагрузке кососимметричная неизвестная равна нулю. В этом случае эпюра изгибающих моментов будет строиться по формуле

M=X₁+X₃+M.

Она, как сумма симметричных эпюр, будет симметричной. Тогда эпюра Q будет кососимметричной, а эпюра N будет симметричной.

б) Расчет на кососимметричную нагрузку

В этом случае эпюра изгибающих моментов кососимметрична (рис. 8.2 е) и ортогональна симметричным эпюрам и. Следовательно,_1P=_3P=0, и, как следует из системы уравнений (1), X₁=X₃=0. Таким образом, при кососимметричной нагрузке все симметричные неизвестные равны нулю. Поэтому эпюра изгибающих моментов строится по формуле

M=X₂+M.

Тогда она и эпюра N будут кососимметричными, а эпюра Q будет симметричной.

Окончательно будет .

9. Группировка неизвестных

Если при расчете симметричной рамы (рис. 8.3 а) выбрана обычная основная система (рис. 8.3 б), то все коэффициенты канонических уравнений

X₁+X₂ +D_1P=0,

X₁+X₂ +D_2P=0

будут отличаться от нуля.

Рис. 8.3

Если же неизвестные группировать по формулам

X₁=Y₁ +Y₂ ,

X₂=Y₁ – Y₂ ,

что соответствует основной системе на рис. 8.3 д, то единичные эпюры (рис. 8.3 е, ж) будут ортогональными (Ä=0), и канонические уравнения распадутся на два независимых уравнения:

Y₁ +D_1P=0,

Y₂ +D_2P=0.

Как видим, при группировке неизвестных отдельные коэффициенты обращаются в нуль и нет необходимости их вычисления. С другой стороны, распадение системы канонических уравнений на две независимые системы уравнений упрощает их решение. Поэтому группировка неизвестных позволяет существенно уменьшить объем вычислений.