2. Выбор основной системы
Расчет статически неопределимой системы начинается с превращения ее в статически определимую. Для этого необходимо исключить лишние связи и заменить их реакции неизвестными силами. Полученная система называется основной системой (ОС).
Например, у балки (рис. 7.2 а), которую далее будем называть заданной системой (ЗС), степень статической неопределимости n=1. Если исключить лишнюю связь (правую опору) и обозначить неизвестную реакцию через X, получим ее ОС (рис. 7.2 б).
Рис. 7.2
Способов исключения лишних связей очень много (теоретически – бесконечное число). Например, лишнюю связь можно исключать как на рис. 7.2 в-е. Однако одна из этих схем (рис. 7.2 е) геометрически изменяема и для дальнейшего расчета непригодна. Все остальные схемы могут быть приняты за основную систему.
Если воспользоваться известным теоретическим положением о том, что в линейно-упругих системах внешняя нагрузка распределяется единственным образом, то результаты расчетов по различным ОС должны быть одинаковыми. Однако объем вычислений в разных ОС может быть разным. Поэтому из многих вариантов ОС нужно выбирать наиболее оптимальную. Например, в нашем примере первый вариант ОС (рис. 7.2 б) предпочтительнее остальных, т.к. в ней эпюры строятся легче.
Итак, основная система должна быть:
1) обязательно геометрически неизменяемой;
2) простой для расчета;
3) учитывать особенности сооружения и действующей нагрузки.
3. Сущность метода сил
В рассматриваемом методе расчета статически неопределимых систем за основные неизвестные принимаются силы (внутренние усилия). Поэтому он и называется методом сил.
Изучим метод сил на примере предыдущей балки (рис. 7.2 а).
Потребуем, чтобы ее ЗС (рис. 7.2 а) и ОС (рис. 7.2 б) были эквивалентными. Для этого перемещение в направлении исключенной связи должно равняться нулю:
=0.
По принципу суперпозиции, это перемещение равно сумме перемещения X (рис. 7.3 а) от неизвестной реакции X и перемещения P (рис. 7.3 б) от заданной силы P. Поэтому
=X+P=0.
Это уравнение, учитывающее геометрические особенности системы, называется уравнением совместности деформаций.
Рис. 7.3
Так как сила X неизвестна, перемещение X непосредственно определить нельзя. Поэтому рассмотрим единичное состояние (ЕС) основной системы, где действует только единичная сила P=1 (рис. 7.3 в). Перемещение , возникающее в нем в направлении единичной силы, называется податливостью, и его уже можно определить.
По закону Гука, в линейно-упругой системе X= X. Тогда последнее уравнение принимает вид
X+P=0.
Его называют каноническим уравнением метода сил. Такое уравнение получается для любой один раз статически неопределимой системы. Если известны и P, из него определяется неизвестная сила: X= –P/ .
Если в системе имеется n лишних связей, то нужно исключить все эти лишние связи и выбрать ОС с n неизвестными X1, X2, , Xn. Тогда, из условий эквивалентности ЗС и ее ОС (условий равенства нулю перемещений в направлениях исключенных связей) можно составить n уравнений совместности деформаций:
=
+
++
+1P=0,
=
+
++
+2P=0,
. . . . . . . . . . . . . .
n=
+
++
+nP
=0.
При
рассмотрении n
различных единичных состояний системы
и определении податливостей
по различным направлениям эти уравнения
приводятся к системе уравнений:
+
X2++
Xn+
P=0,
+
X2++
Xn+2P=0,
. . . . . . . . . . . . .
+
X2++
Xn+nP=0.
Она
называется системой
канонических уравнений метода сил.
Здесь
– главные коэффициенты,
– боковые
коэффициенты. Свободные члены iP
называются грузовыми коэффициентами.
Систему с большим количеством уравнений необходимо решать на компьютере. С этой целью введем матричные обозначения:
=
;X
=
;
P
=
;
0
=
,
где – матрица податливости, X – вектор неизвестных, P – вектор нагрузки, 0 – нуль-вектор. В результате этого система канонических уравнений принимает вид:
X +P = 0.
Из этого матричного уравнения определяется вектор неизвестных:
X = – –1P .
Здесь –1 – обратная матрица податливости.