УЧЕБА / Пересечение поверхности с плоскостью
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова
Л. В. Куркина, Т. Е. Павлова, Е. Г. Шипулина
Пересечение поверхности с плоскостью
Методические указания и варианты заданий для студентов всех специальностей
Барнаул 2014 г
2
УДК 514.18(075.5)
Куркина Л. В, Павлова Т. Е., Шипулина Е. Г., Пересечение поверхности с плоскостью: Методические указания и варианты заданий для студентов всех специальностей дневной формы обучения – Барнаул: Издательство АлтГТУ,
2014.-22с.: ил.
Методические указания составлены с целью оказания помощи студентам при выполнении домашней контрольной работы по начертательной геометрии «Пересечение поверхности с плоскостью». В них изложены особенности построения линии пересечения поверхностей вращения одной или несколькими секущими плоскостями, а также разработаны варианты заданий для домашней контрольной работы.
Разработан и одобрено на заседании кафедры «Начертательная геометрия и графика» Протокол №10 от 30.06.2014
©Алтайский государственный технический университет, 2014 ©Л. В. Куркина, Т. Е. Павлова, Е. Г. Шипулина
3
Содержание
Введение……………………………………………………………………….4
1 Построение линии пересечения поверхности с плоскостью частного положения……………………………………………………………………………4
2 Плоские сечения поверхностей вращения второго порядка…………….7
2.1 Плоские сечения цилиндра……………………………………………….7
2.2 Плоские сечения конуса………………………………………………….9
2.3 Плоские сечения сферы…………………………………………………14
3. Условия задач и указания к их выполнению…………………………....16
Таблица 1……………………………………………………………………..17 Таблица 2……………………………………………………………………..19 Приложение 1..………………………………………………………………22
4
Введение
Плоская фигура, получаемая при рассечении какого-либо геометрического тела плоскостью, называется сечением. Также сечением будем называть и линию, которая получается при пересечении поверхности с плоскостью.
Эта линия является плоской так, как принадлежит секущей плоскости. При рассечении плоскостью гранной поверхности (например, призмы или пирамиды) в сечении получается ломаная линия. При пересечении плоскостью поверхности вращения (например, цилиндра или конуса) в сечении получается кривая линия.
Чтобы построить кривую пересечения на чертеже, нужно найти проекции еѐ отдельных точек и затем соединить их плавной линией (по лекалу или от руки) с учетом видимости.
Построение линии пересечения следует начинать с так называемых
опорных точек. К опорным относятся экстремальные точки и точки изменения видимости.
Экстремальные точки – это точки, имеющие самую большую и самую маленькую координату относительно какой-либо плоскости проекций (т.е. - это самая верхняя – самая нижняя; самая правая – самая левая; самая ближняя – самая дальняя точки сечения).
Точки изменения видимости – это точки, в которых кривая пересечения меняет видимость на противоположную. Они лежат на границах видимости заданной поверхности, то есть на еѐ очерках.
Все остальные точки линии пересечения называются промежуточными (произвольными, случайными).
Оказывается, что даже в одной задаче, опорные точки находят каждую своим собственным приемом построения. Все промежуточные точки находят с помощью одного и того же приема, который является основным для решения рассматриваемой задачи.
В общем случае (поверхность и плоскость занимают общее положение относительно плоскостей проекций) линию пересечения поверхности с плоскостью строят способом вспомогательных секущих плоскостей (в данном пособии не рассматривается).
Решение задачи на построение линии пересечения поверхности с плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость занимает частное положение относительно плоскостей проекций.
1 Построение линии пересечения поверхности с плоскостью частного положения
Задача. Построить линию пересечения поверхности с плоскостью (рисунок 1).
5
Рисунок 1
6
При решении задач на построение сечений рекомендуется придерживаться следующей последовательности.
1.Анализ условия (по графическому условию определяем, какие геометрические объекты заданы и какое положение они занимают относительно плоскостей проекций.
В предложенной задаче даны:
поверхность – тор – занимает общее положение относительно плоскостей проекций;
секущая плоскость α – фронтально-проецирующая.
2.Способ решения задачи.
Решение задачи основывается на следующих рассуждениях.
а) Линия пересечения – это линия, все точки которой одновременно принадлежат и заданной поверхности, и секущей плоскости;
б) Так как секущая плоскость фронтально-проецирующая, то на π2 имеем еѐ вырожденную проекцию в виде прямой (α2). Вырожденная проекция обладает собирательным свойством, т. е. все точки и линии, принадлежащие плоскости, в том числе и кривая пересечения m, на π2 проецируются на вырожденную проекцию α2.
Вывод:
-на π2 проекция линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией секущей плоскости (α2=m2);
-на π1 проекция линии пересечения (m1) строится из условия принадлежности точек линии пересечения тору.
3. Опорные точки.
Точка А – самая верхняя и самая правая. Точка В – самая нижняя и самая левая.
Точки А и В лежат на главном фронтальном меридиане тора. Таким
образом, отметив А2 и В2, находим А1 и В1 по линиям связи на горизонтальной проекции этого меридиана.
Точки С и С´ - точки изменения видимости линии пересечения на π1. Они принадлежат плоскости экватора тора. Сначала отмечаем С2 и С´2, затем по линии связи находим их горизонтальные проекции.
Точки D и D´ - точки изменения видимости линии пересечения на π3 (они принадлежат плоскости главного профильного меридиана тора).
4. Промежуточные точи.
На фронтальной проекции линии пересечения произвольно отмечаем
точки 12 и 1´2; 22 и 2´2. На π1 находим их проекции с помощью соответствующих параллелей тора. На π2 все параллели тора проецируются в отрезки, на π1 – в окружности. Так горизонтальные проекции точек 11 и 1´1 найдены с помощью параллели (окружности) радиуса r.
5. Видимость линии пересечения.
Границей видимости тора на π1 является его экватор. Лежащие на экваторе точки С и С´ разделяют горизонтальную проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части.
7
2 Плоские сечения поверхностей вращения второго порядка
Поверхности вращения второго порядка пересекаются плоскостями по кривым второго порядка, причем при пересечении конуса, цилиндра и сферы заранее известен вид кривой, получающейся в сечении.
2.1Плоские сечения цилиндра
Плоскость может пересекать поверхность прямого кругового цилиндра: по окружности, если секущая плоскость α перпендикулярна оси
вращения цилиндра (рисунок 2а); по двум прямым (образующим), если секущая плоскость параллельна оси
вращения цилиндра (рисунок 2б); по эллипсу, если секущая плоскость наклонена к оси вращения цилиндра
под острым углом (рисунок 2в).
а) |
б) |
в) |
Рисунок 2
8
Задача. Построить линию пересечения поверхности с плоскостью (рисунок 3).
Рисунок 3
9
1. Анализ условия.
Поверхность – цилиндр – занимает горизонтально-проецирующее положение. На π1 имеем вырожденную проекцию цилиндра в виде окружности.
Секущая плоскость α - фронтально-проецирующая. Еѐ вырожденная проекция будет на π2 в виде прямой (α2).
Так как секущая плоскость расположена под острым углом к оси цилиндра, то она пересекает поверхность по эллипсу.
2. Способ решения задачи.
На π2 проекция линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией секущей плоскости.
На π1 проекция линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией цилиндра.
На π3 проекцию линии пересечения строим. Для этого набираем на вырожденной проекции плоскости ряд точек, находим их проекции на π1 на вырожденной проекции цилиндра и затем строим профильные проекции точек на π3 по линиям связи.
3. Опорные точки.
Точка А – самая нижняя и самая левая точка сечения. Точка В – самая верхняя и самая правая точка сечения.
Точки С и С´ - точки изменения видимости линии пересечения на π3.
4. Промежуточные точки.
Точки 1 и1´ отмечаем произвольно вначале на фронтальной плоскости проекций, затем находим их горизонтальные проекции на π1по линии связи. Чтобы построить профильные проекции этих точек надо:
а) из фронтальных проекций 12 и 12´ провести линию связи перпендикулярную оси z;
б) по этой линии связи от плоскости главного фронтального меридиана отложить координату Y, взятую с плоскости π1.
Аналогично строятся остальные промежуточные токи 2 и 2´, 3 и 3´, 4 и 4´.
5. Видимость линии пересечения.
Границей видимости цилиндра на π3 является плоскость главного профильного меридиана. Следовательно точки С и С´ - точки смены видимости на π3.
2.2Плоские сечения конуса
При пересечении поверхности конуса с плоскостью получаются следующие линии: окружность, две пересекающиеся прямые, эллипс, парабола, гипербола.
Рассмотрим условия, при которых получается то или иное сечение.
1)Если плоскость пересекает все образующие конуса и расположена под острым углом к его оси вращения, то сечением будет эллипс (рисунок 4а).
10
2)Если плоскость перпендикулярна к оси вращения конуса в сечении получается окружность. Это частный случай эллиптического сечения (рисунок 4б).
3)Если секущая плоскость параллельна одной образующей конуса, то в сечении будет парабола (рисунок 4в).
4)Если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса, то в сечении будет гипербола (рисунок 4г).
5)Если секущая плоскость параллельна двум образующим и проходит через вершину конуса, то в сечении получаются две образующие
(прямые). Это частный случай гиперболического сечения (рисунок 4д). Следует обратить внимание ещѐ на один частный случай расположения секущей плоскости, когда она параллельна оси конуса (рисунок 4е). В этом случае плоскость параллельна двум образующим, проекции которых совпадают с проекцией оси. Следовательно, плоскость, параллельная оси конуса, рассечет
его по гиперболе.
Условие, при котором получится то или иное сечение, может быть сформулировано иначе.
Обозначим угол между образующей конуса и его осью вращения α, а угол между секущей плоскостью и осью конуса φ. Тогда, если:
1)φ > α, сечение – эллипс (рисунок 4а);
2)φ = α, сечение – парабола (рисунок 4в);
3)φ < , сечение – гипербола (рисунок 4г).
Рисунок 4