УЧЕБА / Пересечение поверхностей

Общей границей видимости на π1 является плоскость β. Часть линии пересечения, расположенная ниже этой плоскости будет не видна на π1.Поэтому, участок линии пересечения, проходящий через точки С, 2, В, 2', D, на горизонтальной плоскости проекций обведен штриховой линией.

6. Видимость очерков.

Образующие а и в являются очерковыми конуса на π1. Окружность е является очерковой тора на π1. Так как образующие конуса лежат в плоскости β, а окружность е находится ниже еѐ, то на π1 прямые а и в будут видимы и изображены сплошной толстой линией. Окружность е закрыта конусом и на π1 обведена штриховой линией (в пределах площади наложения проекций заданных поверхностей).

5 Частный случай пересечения поверхностей вращения второго порядка

Пример. Построить линию пересечения поверхностей.

1. Анализ условия.

Пересекаются два прямых круговых конуса (рисунок 19). Обозначим конус с осью вращения i π1 буквой Ψ, а конус с осью j π3 буквой Φ. Обе поверхности общего положения.

2. Способ решения задачи.

Для построения линии пересечения можно применить способ концентрических сфер, так как выполняются все необходимые условия:

обе поверхности – поверхности вращения;

имеется общая плоскость симметрии α, параллельная одной из плоскостей проекций (α ║ π2);

каждая из поверхностей несет на себе семейство окружностей (на поверхности Ψ окружности перпендикулярны оси і, на поверхности Φ окружности перпендикулярны оси ј);

оси поверхностей пересекаются (i ∩ j = О).

3.Опорные точки.

Прежде всего, найдем самые верхние и самые нижние точки линии пересечения поверхностей. Эти точки лежат в общей плоскости симметрии α. Плоскость α является также общей границей видимости на π2 для заданных поверхностей.

Теперь находим опорные точки, лежащие в этой плоскости.

Плоскость α пересекает обе поверхности по образующим, которые являются очерковыми данных конусов на π2. В пересечении этих образующих отме-

32

чаем проекции точек А2 и D2, С2 и В2 (точки А и С– самые верхние, точки В и D– самые нижние).

4. Промежуточные точки.

Для построения промежуточных точек применяем способ концентрических сфер. За центр сфер принимаем точку О – точку пересечения осей i и j.

i ∩ j = О

Находим радиус минимальной сферы (Rmin). Для этого из проекции точки О (О2 ) проводим два перпендикуляра к очерковым образующим поверхностей и выбираем из них наибольший. В результате построения оказалось, что перпендикуляры имеют одинаковую длину:

O2M2 = O2N2 => Rmin = O2M2= O2N2

Таким образом, сфера минимального радиуса вписана в обе поверхности одновременно.

В этом случае для решения задачи следует применить теорему Монжа.

Теорема. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка (или вписаны в неѐ), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых, проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания заданных поверхностей с третьей.

Прежде всего, проводим линии касания сферы с каждым конусом. Сфера касается конуса Ψ по окружности m (m2). Сфера касается конуса Φ по окружно-

сти n(n2).

Затем, находим точки пересечения этих окружностей.

m2 ∩ n2 = {12; 1'2}

Наконец, строим линии пересечения заданных поверхностей.

Эти плоские кривые будут проходить через точки А, В, С и D и через точки 1 и 1' - точки пересечения линий касания.

Таким образом, линиями пересечения конусов будут эллипсы, фронтальные проекции которых изображаются отрезками А2D2 и В2С2.

33

ЛИТЕРАТУРА

1.Боголюбов С. К. Черчение: Учебник для машиностроительных специальностей средних специальных учебных заведений. – М.:Машиностроение,

1985. – 336 с., ил.

2.Бубенников А. В. Начертательная геометрия: Учебник для втузов. – 3-е изд.,перераб. И доп. – М.: Высш. шк., 1985. – 288 с., ил.

3.Павлова А. А. Начертательная геометрия: Учеб. для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. – 304 с.:ил.

4.Посвянский А. Д. Краткий курс начертательной геометрии: Учебник для студентов высших технических учебных заведений. – М.: Высшая школа,

1965. – 238 с.

5.Фролов С. А. Начертательная геометрия: Учебник для втузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1983. – 240 с., ил.

35

© Л. В. Куркина, Л. В. Блинова, 2015

Лариса Валерьевна Куркина, Людмила Васильевна Блинова

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Методическое пособие

Подписано в печать 03.02.15. Тираж 50 экз.

Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова, 656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 020822 от 21. 09. 98.

36