
- •Основы теории вероятностей.
- •1. Классификация случайных событий.
- •2 Вероятность случайного события.
- •3. Теоремы сложения вероятностей.
- •4. Теоремы умножения вероятностей.
- •5. Формула полной вероятности.
- •6. Формулы Байеса.
- •7. Случайная величина.
- •Дискретная случайная величина.
- •Непрерывная случайная величина.
- •3).Функция распределения.
- •1 F(X)
- •8. Числовые характеристики (параметры) случайной величины.
- •3). Средне -квадратическое или стандартное отклонение.
- •Контрольные вопросы.
Лекция №1
Основы теории вероятностей.
Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает закономерности в массовых случайных событиях.
Событие – это факт, который может произойти или не произойти в результате проведения опыта или испытания.
Выделяют три вида событий:
а) достоверные
б) невозможные
с) случайные
Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдёт в результате данного опыта.( например: при бросании кубика выпадет 1≤целое число≤6).
Невозможное событие – это событие, которое никогда не произойдет в условиях данного опыта. .( например: при бросании кубика выпадет число≥7, например 10).
Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти в результате данного опыта. ( например: бросили кубик один раз – выпадение числа 3 – случайное событие).
События обозначаются первыми заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D,.
События называются массовыми, если они происходят одновременно в достаточно большом числе испытаний или многократно повторяются .( например: много людей бросают кубики или один человек бросает кубик много раз).
1. Классификация случайных событий.
Равновозможные события – это события такие, что ни одно из них не является более возможным, чем другие ( например: кубику всё равно на какую грань упасть).
Совместные события – это события, которые могут произойти одновременно в результате данного опыта. ( например: бросаем 2 кубика - выпадение числа 1 и выпадение числа 3 – совместные события).
Несовместные события – это равновозможные события такие, что появление одного из них исключает появление остальных.( например: бросаем 1 кубик – выпадение цифры 3 исключает выпадение остальных цифр).
Несколько
случайных событий:
образуютполную
группу событий,
если каждое из них может произойти в
результате данного опыта. ( например:
выпадение
чисел 1,2,3,4,5,6 –полная группа событий
для бросания одного кубика).
Противоположные
события
–
это равновозможные несовместные события,
образующие полную группу событий.
Появление события
исключает появление события
.
( например:
орёл
или решка, попадание в мишень или промах).
Несмотря на то, что события случайные, при большом числе опытов они подчиняются закономерностям, которые изучает теория вероятностей.
2 Вероятность случайного события.
Вероятность
случайного события
(обозначается
Р(А)) –это число, которое говорит нам о
степени возможности наступления события
.
Существуют два определения вероятности: классическое и статистическое, каждое из них имеет свои достоинства и недостатки.
Классическое определение вероятности.
Вероятность
события
– это
отношение числа исходов, благоприятствующих
данному событию (m),
к общему числу всех несовместных и
равновозможных исходов данного опыта
(n).
Если
А – случайное событие, то
Если
А – достоверное
событие,
то
Если
А – невозможное
событие,
то
Пример:
при бросании кубика возможно 6 исходов
Событие
А:
выпадет четное число. Число исходов,
благоприятствующих событию А, m=3.
Достоинства: можно вычислить вероятность не производя испытания.
Недостатки: 1) не всегда известно число исходов опыта,
2) часто невозможно представить результат испытаний в виде равновозможных и несовместных событий.
Поэтому на практике часто пользуются статистическим определением вероятности.
Статистическое определение вероятности.
Пусть
А – случайное событие, опыт проводился
n
раз, в результате опыта событие А
произошло m
раз, тогда m-
частота наступления события А, а величина
называетсяотносительной
частотой
события А.
Для
разных n
,
могут
заметно отличаться, но если проводим
длинную серию опытов, т.е.
,
то
к некоторому пределу.
Статистической
вероятностью
события А называется предел, к которому
стремится его относительная частота
,
при неограниченном увеличении числа
испытаний.
Пример:
среди 1000 новорожденных 517 мальчиков.
Найти относительную частоту рождения
мальчиков.
,
тем не менее, известно, что
Так
как вероятность – это число
следовательно, с этими числами можно
производить арифметические действия.