Как оказывается, можно подстроить теорию (Леонтович, Климонтович, Пригожин и др.) которая существенно уточняет образ предельной модельной системы за счет включения в неё на постулативном уровне особым образом понимаемых длинноволновых флуктуаций. Эта теория, в принципе, содержит такие явления как неравновесные фазовые переходы с образованием диссипативных структур и позволяет учесть дискретный характер материи. Однако математический прогресс в этой области (связанный и с принципиальными вопросами физики) значительно более скромен, чем процесс в стандартной ББГКИ-теории. По этой причине она остаётся за рамками настоящего курса электродинамики.

6.6.3. Выделенная роль одночастичной функции распределения.

Самой простой функцией распределения в цепочке ББГКИ является функция

(6.52)

При её использовании надо оговаривать, что – координата и скорость любой из всего множества частиц одного сорта. В (6.52)элементы пространства состояний, в то время как черезобозначается точка наблюдения в реальном физическом пространстве. Это величины – разные по своему физическому статусу. Такобозначает любую частицу с любым номером. Индекс «1» для таких частиц будем далее сохранять.

Рассмотрим как конкретно с помощью вычисляются средние различных физических величин.

Функция имеет два важнейших, с точки зрения физики, свойства – аддитивность и присутствие в законах сохранения. Для определённости, рассмотрим систему точечных частиц. Плотность этой системыаддитивна по определению

(6.53)

В точках нахождения точечных частиц обращается в бесконечность. Аналогично можно ввести плотность потока частиц

(6.54)

Величины ,справедливы для любой системы частиц независимо от характера её движения. Траектории движения задаются при этом законом,. В параграфе 1 прямым дифференцированием показано, что

(6.55)

Существуют две родственные им физические величины

(6.56)

которые являются плотностью масс и плотностью потока импульса соответственно. Аналогично задаются плотность заряда и плотность электрического тока

(6.57)

Связывающий их закон сохранения плотности точечных зарядов

(6.58)

Если система состоит из частиц одного сорта, то все массы и заряды одинаковы (ниже это будет использовано явно).

Итак, выше введены точные аддитивные физические величины, описываемые сингулярными функциями. Природа особенностей в них заключается в представлении о микрочастицах, как точечных и не имеющих структуры.

Введём теперь определение через функцию распределения в фазовом пространстве.

(6.59)

где –-частичная функция распределения. Зависимость от временивходит здесь черези черезв. Итак, высчитаем

Все члены в последнем выражении имеют совершенно одинаковую структуру. В силу принципа тождественности микрочастиц они равны друг другу. То есть

(6.60)

Итого плотность частиц как функция координат точки наблюдения выражается формулой

(6.61)

Получили распределение частиц в пространстве, усреднённое по бесконечно малым областям в окрестности точек наблюдения.

Аналогичные вычисления справедливы и для

(6.62)

Фигурирующая в (6.61), (6.62) скорость есть координата фазового пространства. Но в физике скорость описывается ещё как скорость гидродинамического потока – усреднённая гидродинамическая величина– функция точки наблюденияи физического времени. Определим скорость гидродинамического потока через плотность потока масс.

По определению,

(6.63)

после чего получим формулу для расчёта гидродинамической скорости

(6.64)

Закон сохранения числа частиц также можно вывести из уравнения Лиувилля (6.26). Для этого умножим (6.26) на меру и проинтегрируем его

В этой формуле суммирование идёт как по метрическим индексам, так и по индексам фазового пространства «». Выделим во втором члене левой части слагаемое с фазовым индексом «» и явно выпишем оставшуюся сумму по «». В последнем члене также явно выделим эту сумму

(6.65)

Учтём в (6.65) гамильтоновы уравнения движения

, (6.66)

Исключим дивергенцию в -мерном пространстве в третьем члене левой части (6.65), преобразуя его в интеграл по гиперповерхности, объемлющей движение. Так как движение частиц на границах островной физической системы отсутствует, этот интеграл равен нулю.

Аналогичное преобразование совершим для дивергенции по скоростям частиц в последнем члене левой части уравнения (6.65).

В результате получим это уравнение в сильно упрощенном виде:

(6.67)

Домножим (6.67) на и используя определения

(6.68)

Подставляя (6.68) в (6.67), получим уравнение

, (6.69)

которое и есть уравнение непрерывности для тока частиц в конфигурационном физическом пространстве.

Аналогично можно получить уравнение Эйлера для скорости . Вообще же можно получить из (6.26) уравнения для низших моментов функции распределения. Для выполнения этой процедуры функцияразлагается по так называемому числу Кнудсена вблизи равновесной функции распределения Максвелла (13-ти и 21-моментные методы Грэда) по системе ортогональных полиномов Эрмита, либо полиномов Сонина, либо к (6.26) применяется метод кинетических моментов Чепляна-Энекоча. Результатом является система уравнений гидродинамики, включающая закон возрастания энтропии, либо более общая система уравнений релаксационной гидродинамики для газов и жидкостей, обладающих несколькими характерными временами эволюции. Проблема самосборки кристаллической решетки твердого тела лежит несколько в стороне от описания газов, частицы которых связаны слабым взаимодействием. Не исключено, что для ее решения нужны более глубокие и сложные физические абстракции, чем примененные при получении уравнения Лиувилля (6.26). Так А.А. Власовым для ее решения был использован метод искривленного пространства опорных элементов, с которым можно подробно познакомится в книгах этого автора. В настоящем курсе эта проблема рассматриваться не будет.