9. Электростатика проводников.

9.1. Постановка задачи. Качественное описание физических явлений в проводниках.

Помимо изучения общих свойств электростатического поля этот раздел носит ярко выраженный прикладной характер, являясь вводным к курсу «Прикладная электротехника и расчет конденсаторов». Общее предназначение конденсатора – записать энергию, которая, в случае необходимости, может быть использована по назначению. Основы теории расчета конденсаторов излагаются в соответствующих технических курсах. Здесь же будут рассмотрены несколько конкретных задач.

Задача 1. Расчет электростатического поля для систем заряженных проводников.

При решении этой задачи рассматриваются проводники сколь угодно сложной формы. Распределение зарядов по поверхности проводника заранее не является известным. В данном случае это распределение – функционал от поля, которое само создает в проводнике распределение зарядов. Поэтому ставится самосогласованная задача – поле создается зарядами и это же поле создает в проводнике наблюдаемое распределение зарядов. Такой специфики не было в электродинамике точных зарядов, так как не было и объема, по которому эти заряды могли бы распределяться, ввиду их точечного характера.

Задача 2. Искажение внешнего поля незаряженного проводника.

Проводник – объект, внутри которого есть свободные заряды, не локализованные внутри его объема. Под влиянием внешнего поля произойдет разделение зарядов – проводник поляризуется и исказит внешнее поле. Во внешнем поле возникает поляризация зарядов в проводнике и вместе с ней он получает дипольный момент.

Проанализируем сначала качественно первую из поставленных задач. Рассматриваемая задача о расчете поля заряженных проводников является статической. То есть, по определению статистических задач, все плотности тока . При отсутствии тока и принет никаких оснований говорить и о магнитном поле, то есть. Система уравнений Максвелла упрощается до

(9.1)

(9.2)

Диэлектрическая проницаемость проводников, ввиду практического отсутствия в них связанных зарядов близка к . (Вспомним, чтоописывает реакцию связанных зарядов на приложенное электрическое поле и для пассивных линейных сред). В принципе, в реальном проводнике есть и связанные заряды. Надо, конечно, учитывать и поверхностные эффекты от них, но в электротехнике ими пренебрегают. Они учитываются лишь в прецизионных задачах физики. Без учета этих эффектов проводник является классической средой.

Если вдруг оказывается, что плотность заряда внутри проводника, то внутри проводника возникает электрическое поле, которое действует на заряды и возникает электрический ток. Описание тока зарядов – это нестационарная, а не статическая задача. Перемещение зарядов (вследствие взаимного отталкивания одноименных) будет происходить до тех пор, пока они не выйдут на поверхность и ситуация в проводнике не стабилизируется. Итого внутри проводника, а зарядраспределен по его поверхности.

При этом уравнения Максвелла (9.1), (9.2) примут вид:

, (9.3)

, (9.4)

где – плотность свободных зарядов. Как показано в §8 (9.3), (9.4), приводят к уравнению Пуассона для потенциала

(9.5)

Итого, в свободном проводнике заряд может быть лишь только на его поверхности, что согласуется с теоремой Гаусса для , когда при отсутствии объемных зарядов

(9.6)

где – поверхность проводника. Из (9.6) явно следует, что приэлектрическое полесосредоточено на поверхности проводника.

Предметом исследования в электростатики проводников и является самосогласованное электрическое поле, сосредоточенное на поверхности проводника. В этом случае, в уравнении Пуассона (9.5) заряд приобретает характер -образной функции, сосредоточенной на поверхности.

Рассмотрим некий проводник с номером 1. Внешняя среда (классический вакуум) пусть имеет номер 2. (Рис. 9.1)

Поверхность проводника есть поверхность раздела двух сред проводник-вакуум. Граничные условия для этой поверхности раздела можно выписать, пользуясь ранее полученными формулами (6.222):

(9.7)

Очевидно, что и(поверхность эквипотенциальна). В противном случае, по ней тек бы электрический ток. Внутри проводника нет свободных и связанных зарядов. Поэтому нет и электрического поля. Отсюда следует, что в проводнике нет собственного электрического поля. Поэтому нормальная составляющая поля на поверхности проводника имеет вид:

(9.8)

Сведем в небольшую таблицу граничные условия на поверхности проводника

Итак, постановка первой задачи разобрана. Отметим, что для системы проводник + вакуум справедливо уравнение Пуассона

(9.11)

С граничным условием для на поверхности проводника, о котором речь пойдет ниже. Здесь же отметим, что поставленная задача есть задача на расчет самосогласованного поля, связанного с поверхностной плотностью заряда, которая сама же и определяется полем.