23. Рассеяние и поглощение электромагнитных волн.

23.1. Постановка задачи и математические замечания.

Рассмотрим среду, состоящую из заряженных частиц. Пусть в этой среде распространяются электромагнитные волны. Электрическое и магнитное поля каждой волны создают силу Лоренца, действующую на частицы среды. Частицы среды движутся под действием этих переменных сил, создаваемых электромагнитным полем, и частично забирают при этом энергию волны. Затем ускоренно движущиеся частицы излучают и возвращают, тем самым, энергию электромагнитному полю волны. Весь этот процесс, в целом, называется рассеянием и поглощением электромагнитных волн средой. В итоге частицы забирают энергию у поля, а затем, излучая, возвращают эту энергию. Можно условно выделить две модели такого излучения.

1) Вся энергия, отобранная частицами у поля, возвращается полю. Этот процесс называется процессом чистого рассеяния электромагнитных волн. В принципе, при падении волны на частицу в определенном направлении, рассеяние может происходить во всех направлениях. То есть отбираемая в одном направлении энергия переизлучается затем во всех направлениях.

2) Отобранная у поля энергия полностью не возвращается полю. Часть ее остается в среде. То есть, происходит поглощение электромагнитных волн средой. На самом деле, поглощение волн средой происходит в любом случае. Действительно, естественным фактором, препятствующим полному возврату энергии в среду, является сила радиационного трения движущихся зарядов. Диссипативные эффекты в среде могут усиливать поглощение энергии электромагнитных волн.

Пусть объектом рассмотрения является монохроматическая электромагнитная волна, напряженность электрического поля которой меняется по закону

(23.1)

В обычных условиях частоты волн велики. Согласно постановке задачи, рассматривается интегральный эффект, то есть передача энергии заметна, когда – периода падающей волны. Поэтому, далее будет производиться усреднение по временам . Плотность энергии электромагнитного поля выражается через . Так как напряженность записывается через косинус, согласно (23.1), то при усреднении по времени за период колебаний

(23.2)

Последний результат справедлив при усреднении за период любых величин, меняющихся по гармоническому закону.

Пусть

Тогда . При усреднении однотипных произведений , , они обращаются в нуль потому, что интеграл от осциллирующей функции по периоду ее осцилляций равен нулю. Поэтому в рассматриваемом среднем остается лишь сумма перекрестных членов, каждый из которых не содержит осцилляций. То есть

(23.3)

ввиду совпадения однотипных средних, не содержащих , и исчезновения в этом случае усреднения за период колебаний.

23.2. Рассеяние линейно поляризованной волны гармоническим осциллятором.

Рассмотрим

1) системы, в которых движение зарядов является нерелятивистским . Это предположение отказывает только в сверхгорячей ультрарелятивистской плазме. Например, во Вселенной на ранних стадиях ее эволюции и во внутренних областях нейтронных звезд-пульсаров;

2) длинна падающей электромагнитной волны много больше области, занимаемой осциллятором . Тогда при – размеров, характерных для атома

(23.4)

Если эта оценка не соблюдается, и частоты колебаний больше приведенной цифры, необходимы исследования с помощью аппарата квантовой теории.

Рассчитаем интенсивность излучения в телесный угол .

(23.5)

где – сечения рассеяния в единицу телесного угла (Рис. 23.1).

Рис. 23.1.

Для переизлучения энергии волны в телесный угол необходимо, чтобы у сместившихся под действием падающего излучения частиц возник переменный дипольный момент, и они, в свою очередь, начали излучать. Пусть возникший у одной частицы под действием поля индуцированный дипольный момент будет

(23.6)

Уравнение движения заряженной частицы в поле электромагнитной волны есть

(23.7)

где точкой обозначена производная по времени. Это уравнение описывает колебания затухающего осциллятора с собственной частотой и дипольным моментом (23.6).

Так как в электромагнитной волне , то при

(23.8)

и уравнение (23.7) упрощается до

(23.9)

Этот вид уравнения характерен для уравнения движения частицы под действием классической вынуждающей силы. В данном случае напряженность поля имеет периодический в пространстве и времени вид

(23.10)

Так как вынуждающая сила является комплексной, комплексной является и координата . Поэтому, в качестве решения уравнения (23.9) необходимо искать .

Итого будем решать дифференциальное уравнение

(23.11)

В записи уравнения (23.11) допущена некорректность – неучтена фаза колебаний волны – (которая должна была войти в сумме с ), учесть которую было формально необходимо при переходе к комплексной записи уравнения (23.11). Однако, простая оценка убеждает в том, что и в учете здесь нет необходимости.

Действительно,

(23.12)

в силу исходного предположения 2) о длинах волн излучения. Это и понятно, так как возможности движения частиц резко ограничены характерным размером системы . Поэтому можно пренебречь (в (23.11)) и зависимостью от координат, а постоянную общую фазу включить в . Тогда уравнение (23.11) упроститься до

(23.13)

где после получения решения надо переходить к реальной части комплексного числа .

Отметим здесь то обстоятельство, что учет жесткого излучения с малыми частотами порождает дополнительную проблему нелокальности уравнения для осциллятора (что уже отмечалось в §22.4).

Выполняем экспресс-анализ (22.13), полагая

(23.14)

что дает для (23.13)

(23.15.1)

(23.15.2)

(23.15.3)

Для удобства перейдем к тригонометрической форме выражения (23.15.3) для дипольного момента

где . С учетом приведенного выражения для знаменателя (23.15.3) через фазу это уравнение приобретет вид

(23.16)

Перепишем теперь формулу (23.5) для дифференциальной интенсивности дипольного излучения в единицу телесного угла

(23.17)

Учтем теперь, что есть строгое направление линейной поляризации падающей волны. Эту же формулу можно переписать в эквивалентной форме, вводя единичный вектор так, чтобы угол был углом между и ().

Тогда

(23.18)

Ввиду того, что регистрирующий прибор работает время порядка нескольких минут, превышающее обратные частоты волн в герцах, необходимо от выражения (23.18) перейти к средним величинам за период колебаний. Для этого введем в рассмотрение среднее за период колебаний вместо , согласно формулам (23.3).

Это можно сделать сразу на основе формулы (23.17)

(23.19)

что дает

(23.20)

откуда видно, что интенсивность излучения пропорциональна потоку первичного излучения ()

(23.21)

где проведено усреднение по периоду падающих волн. С учетом формулы (23.20) принимает вид (см. также Рис. 23.2)

(23.22)

Второй множитель называется дифференциальным сечением рассеяния, имеет размерность «», и обозначается

(23.23)

Величина , по определению, есть дифференциальное сечение рассеяния

(23.24)

которое показывает, какая доля первичного излучения уходит в интервал углов , распложенный под углом к линейной поляризации падающей волны.

Полное сечение рассеяния по всем направлениям считается по формуле

(23.25)

Подставляя в значение интеграла получаем

(23.26)

Формула (23.26) уже допускает непосредственное сравнение с экспериментом. Из этой формулы видно, что излучая рассеянное излучение, можно получать информацию о собственных характеристиках рассеивающих частиц (отношение ), частоте собственных колебаний (максимуму графика сечения ) и, наконец – коэффициенте трения в среде – (ширине соответствующей лоренцевской кривой). Рассмотрим частные случаи, следующие из (23.26).

1) Пусть электромагнитные волны рассеиваются полностью ионизированной плазмой. Тогда все частицы плазмы свободны в том смысле, что частота собственных колебаний и коэффициент трения . В результате

(23.27)

есть томпсоновское сечение рассеяния волн плазмой.

2) Частицы плазмы, на которой приходит рассеяние волн свободны , однако необходимо учитывать их соударения , приводящее к затуханию .

(23.28)

то есть в точном эксперименте можно узнать столкновительные свойства плазмы.

3) Рассеяние электромагнитных волн на связанных частицах с собственной частотой

(23.29)

В случае, если трение является минимальным радиационным трением (§22.4),

Измерив (23.29) по величине сечения можно определить есть ли в плазме дополнительное трение, кроме радиационного.