14. Физическая природа магнитных свойств вещества.

Прежде чем начать изложение поставленного в заголовке настоящего параграфа вопроса, отметим, что природа магнитных свойств вещества является существенно квантовой.

14.1. Формулировка проблемы в терминах классической физики.

Существуют два аспекта проблемы магнитных свойств вещества, которые однако, взаимосвязаны с собой.

1. Отсутствие силового механизма магнитного упорядочения.

Как было показано выше (§ 12, 13) магнитное поле не совершает работы, и на магнитный момент в магнитном поледействует момент сил

(14.1)

Под действием этого поля момент магнитного диполя только прецессирует в пространстве. При этом никакого упорядочения магнитных моментовне происходит (см. рис. 12.1).

В формуле (14.1) есть одна небольшая тонкость, которую следует сразу же отметить. Действительно, в формулах классической микрофизики фигурировала магнитная напряженность (см. § 12). После перехода к макроскопической электродинамике изменилось обозначение и название этой величины. Как видно из формул § 6 (см. (6.235)) место напряженностив них заняла индукция магнитного поля. Тем не менее итоговый результат – прецессия магнитного момента во внешнем магнитном поле (без какого-либо упорядочения) остался неизменным.

2. Энергетический аспект.

Рассмотрим частицу во внешнем магнитном поле в рамках классической физики. Эта частица массы описывается (как следует из § 4) лагранжианом

(14.2)

где ,– потенциалы внешнего магнитного поля. Построим по лагранжиану (14.2) соответствующий гамильтониан. Для этого найдем классический канонический импульс частицы

(14.3)

По формулам (14.2), (14.3) строится гамильтониан теории.

Итого, гамильтониан в классической физике имеет вид:

(14.4)

Для замкнутой системы «частица + магнитное поле» гамильтониан имеет физический смысл энергии. Эта энергия такова, что в ней полностью отсутствует магнитное поле. Поэтому полене совершает работы и никак не сказывается на энергетических характеристиках частиц.

Итак, вопрос об упорядочении во внешнем магнитном поле не может быть решён с точки зрения энергетической выгодности упорядоченного состояния.

Разумеется оба критерия – 1) и 2) – связаны друг с другом однозначно. Однако, классическое выражение для энергии частиц состоит из величин, которые с точки зрения квантовой физики принципиально неизмеримы.

Действительно в классической физике существует понятие траектории частицы, и скорость на траектории движения измерима лишь только точно, когда измерены два значения координат

(14.5)

После выбора калибровки легко найти и соответствующее значение потенциала . В квантовой же теории скорость неизмерима принципиально, так как отсутствует понятие траектории движения.

Таким образом, можно сделать вывод, что в классической физике проблема принципиально не решаема и использованные нами классические понятия неприменимы к магнитным явлениям и измерениям.

14.2. Частица во внешнем поле с точки зрения квантовой механики.

Квантовая теория является, в настоящее время феноменологической. При построении квантовой теории учитывается эффект целостности микромира – макрообстановки и микрообъекта. Сам по себе микрообъект не обладает какими-либо свойствами. Он приобретает их, взаимодействуя с макрообстановкой. Квантовый мир является миром целостных и разорвать сложные нелокальные связи микрообъекта с остальным миром невозможно. Мерой квантовой целостности является постоянная Планка

(14.6)

Тот способ учета квантовой целостности, который реализован в квантовой механике (и в квантовой теории поля) неоднократно подтвержден экспериментально.

В квантовой механике каждому измерительному прибору сопоставляется оператор. Сами измерительные приборы считаются классическими макроскопическими телами. По виду уравнения квантовой механики для операторов совпадают с уравнениями классической физики для классических макроскопических величин. Последнее утверждение составляет содержание аксиомы квантовой механики – принципа соответствия. Другая аксиома – принцип неопределенности – утверждает, что импульс и координата частицы не измеримы одновременно. Имеет место коммутационное соотношение для операторов импульса и координаты

(14.7)

откуда следует связь между дисперсиями импульса и координаты

(14.8)

При имеет место предельный переход в классическую физику (объекты,превращаются в коммутирующие).

Запишем принцип соответствия в форме гамильтоновых уравнений для операторов

(14.9)

При из (14.9) следуют обычные числовые уравнения классической физики. Отличие коммутатора (14.7) от нуля придаёт уравнениям (14.9) операторный характер, а из них (при учете коммутационных соотношений между операторами (14.7)) выводятся уравнения Шредингера для вектора состояния, сопоставляемого в гильбертовом пространстве микрообъекту

(14.10)

На другом языке квантовая целостность означает взаимодействие макроприбора и микрообъекта неизвестным нам способом.

Итак, совместно ,измерить нельзя, но по отдельности, можно. Критерий измеримости состоит в том, что за исключением координаты, которая измеряется путем измерения положения частицы в пространстве все остальные величины должны быть интегралами движения для замкнутых систем, иначе они вообще неизмеримы. Для того, чтобы измерить импульс, надо измерить импульс макроприбора, переданный ему микрообъектом. Такое измерение возможно. Поэтому для замкнутой системы импульс – сохраняющая величина. Вот почему в соотношении неопределенности присутствует (как и в уравнениях Гамильтона) канонический импульс. Только такой импульс фигурирует в квантовой механике. Все интегралы движения для замкнутых систем строятся по каноническому импульсу. Сумма всех импульсов частиц для замкнутой системы постоянна.

Отметим также, что весьма употребительным в квантовой механики является координатное представление, в котором, грубо говоря, операторы импульса и координаты заменяются следующими выражениями

(14.11)

Отметим здесь, что выражение (14.11) для импульса относится к каноническому импульсу (тому импульсу, который фигурирует в соотношениях неопределенности).

Отметим здесь, что сущестнаивные (сильно упрощенные) представления об импульсе частицы

(14.12)

В то же время канонический импульс в классической теории есть более сложная величина

(14.13)

Именно канонический импульс входит в законы сохранения для замкнутых систем, и именно он наблюдаем. Последняя формула на языке квантовой механики (с учетом принципа соответствия) переписывается как

(14.14)

что обеспечивает само существование лагранжиана как функции от операторов

(14.15)

Именно формула (14.15) для лагранжиана диктуется принципом соответствия. Отметим, что вне зависимости от явного выражения для лагранжиана, для канонического импульса в координатном представлении справедливо выражение (14.11).

Проведем вычисления гамильтониана магнитных явлений в квантовой теории. Согласно принципу соответствия квантовой механики, лагранжиан (14.2) надо переписать в операторном виде

(14.16)

Используя и далее принцип соответствия построим по оператор канонического импульса.

(14.17)

Отметим в связи с выражением (14.17), что – функция оператора координаты и, поэтому, – измеримая величина.

Координата измерима сама по себе с любой точностью.

Импульс измерим сам по себе с любой точностью, но не одновременно с координатой.

Зададимся вопросом, а измерима ли скорость сама по себе в квантовой механике? Ответ на этот вопрос однозначен: ни прямыми ни косвенными методами скорость неизмерима, так как для измерения нужна траектория движения (или хотя бы два последовательных положения частицы в пространстве).

Аналогичный вывод прямо следует из постулатов квантовой механики. Действительно, пусть первое измерение точно. Неопределенность импульса после него равна бесконечности . Тогда после первого же точного измерения координаты получится столь большой импульс, что в следующий момент времени частица может оказаться в любой точке пространства. В целом, ситуация перестает быть объектом локальных измерений. Существует ли косвенный метод измерения скорости? Нет не существует, потому что идея такого измерения могла бы заключаться в независимом измерении компонент потенциалаи. Однако координаты и импульсы независимо неизмеримы. Найдем выражение дляиз (14.17)

(14.18)

и будем выражать гамильтониан теории через,.

(14.19)

Выразим согласно (14.18) и получим

Получили канонический гамильтониан как функцию координат и импульсов

(14.20)

В выражении (14.20) перейдем к координатному представлению квантовой механики. Получаем

(14.21)

В выражении (14.21) учтена физическая тонкость. Операторы наблюдаемых физических величин в квантовой механике обязаны быть эрмитовыми. Эрмитовость гамильтониана достигается симметризацией второго слагаемого правой части. Получили правильное выражение для гамильтониана частицы, находящейся во внешнем поле. Из выражения (14.21) в квантовой механике исходят для расчета многих наблюдаемых эффектов. В частности это относится к эффекту Зеемана – расщеплению спектральных линий атома во внешнем магнитном поле. Разобьем гамильтониан (14.21) на два слагаемых

(14.22)

где

(14.23)

гамильтониан частицы без учета взаимодействия с внешним полем;

(14.24)

гамильтониан взаимодействия частицы с внешним полем. Все проделанные до сих пор выкладки выполнены по строгим правилам квантовой механики.

А теперь задумаемся над полученным выражением (14.22). Видим, что в квантовой теории магнитное поле приобрело совершенно определенные энергетические функции. В частности, появилась энергия взаимодействия частицы с полем . Отметим, что в квантовой механике совершенно определенно зафиксированы иные, чем в классической физике представления о наблюдаемых, и в частности, это относится к представлениям об энергии.

Классические представления, примененные к проблеме магнетизма оказываются неверными (о чем свидетельствует эксперимент). Квантовую динамику системы определяет оператор энергии , и в свою очередь, эта динамика зависит от магнитного поля, чего не было в классической физике. Делаем вывод, что классическая физика слишком груба для описания магнитных явлений. Она теряет воздействие магнитного поля на формирование энергетического спектра системы. Эту ситуацию можно пояснить следующим образом. При качественном использовании классических образов «на пальцах» нам удается построить картины или, что более точно, – результаты физических явлений. Видимо, это соответствует тому, что человек сам является макроскопическим существом – классическим макроскопическим объектом. При этом возникает проблема, как же в классических терминах объяснить энергетику магнитного поля? Но после использования квантовой теории, приходим к новому для нас результату – энергетический спектр квантовых систем зависит от магнитного поля. (Это есть следствие зависимости отгамильтониана системы). Еще раз остановимся на мотивации использованного подхода. Следствием чего он является? Он является следствием зависимости от постояннойгамильтониана теории. В постояннойзафиксирован принцип целостности микро и макро миров. Эта целостность подтверждена многими физическими эффектами. В частности энергетикой излучения абсолютно черного тела и эффектом Зеемана атомной физики. Соответствующие физические явления описать адекватно в классической физике совершенно невозможно. Отсюда делаем важный для дальнейшего вывод: природу магнетизма мы понимаем так, как понимаем квантовую теорию вообще. Заметим, что нет другого выхода, как воспользоваться для описания магнитных явлений феноменологической квантовой схемой, оправданной экспериментом. В той же мере, в которой верны принципы квантовой теории правильно и наше понимание магнитных явлений.

Обобщим выражения (14.21) для на случай системы тождественных частиц, находящихся во внешнем поле. Получим, суммируяпо всем частицам

(14.25)

где не содержит магнитного поля.

Возьмем классическое выражение для магнитного момента

(14.26)

и исключим с помощью (14.18) ненаблюдаемую в квантовой теории скорость

(14.27)

Получим выражение для дипольного магнитного момента

(14.28)

которое легко переписывается для системы тождественных частиц ,

(14.29)

Магнитный момент складывается из двух слагаемых. Первое из них характеризует систему в целом и к наличию или отсутствию магнитного поля отношение не имеет (как не имеет его величина ). Эта первая часть моментаназывается моментом орбитального движения, и для системы тождественных частиц переписывается через момент количества движения системы

(14.30)

Вторая часть носит название индуцированный (магнитным полем ) дипольный момент

(14.31)

Почему в квантовой теории возникает наблюдаемый индуцированный эффект от магнитного поля? В основе этого эффекта лежит принцип неопределенности. Так же как невозможно точно сказать, в какой же точке пространства находится частица, имеющая импульс, так и невозможно точно определить силу, действующую на частицу. Частица предстает перед наблюдателем как делокализованный (размазанный по пространству) объект. В то же время, сила Лоренцасодержит скорость, принципиально ненаблюдаемую в квантовой теории. Вот почему классическое выражение дляв квантовой теории смысла не имеет и ее работа, следовательно, тоже. Практически ненаблюдаемость скоростив квантовой теории ликвидирует все классические соображения о производстве работы. Но общие принципы квантовой теории помогают разобраться в сути дела. Действительно, в квантовой теории имеется выражение для гамильтониана, содержащее энергетический эффект от магнитного поля. Напомним, что согласно принципу соответствия магнитный момент в квантовой теории является оператором и его собственные значения квантуются.

Для того, чтобы разобраться в сути дела необходимо вспомнить, что орбитальный момент частицы в квантовой механике квантуется (эта информация необходима, хотя бы, ввиду выражения (14.30)).

Для одновременно измеримых величин – (проекции момента на ось «») и его квадратасуществуют спектральные формулы квантовой механики:

(14.32)

(14.33)

где ;– вектор состояния, принадлежащий ансамблю квантовых частиц, совершающих орбитальное движение.

Перепишем все формулы для важного частного случая постоянного магнитного поля . Рассматриваемая теория, прежде всего, будет прилагаться к атомам, находящимся в магнитном поле. Так, что система частиц, о которой идет речь – это, прежде всего, электроны в атоме. На масштабах же атома магнитное поле меняется очень слабо. Так, что рассматриваемое приближение адекватно такой квантовой системе.

Выразим потенциал постоянного магнитного поля через магнитную индукцию. Для чего используем формулы

(14.34)

(14.35)

(14.36)

Формула (14.36) является догадкой, которую, однако, легко обосновать. Перепишем всю систему (14.34)-(14.36) в тензорной форме. Получим

(14.37)

Приведенные выкладки выполнены весьма подробно и не требуют дополнительных комментариев. В результате удалось показать, что угаданная для векторного потенциала формула (14.36) является правильной и не противоречит двум другим формулам исследованной системы (14.34)-(14.36). То есть, эта система при использовании (14.36) обращается в тождество.

Пользуясь этими выражениями, перепишем гамильтониан (14.25) для системы тождественных частиц ,.

Подставляя выражение (14.36) в (14.25), получаем

(14.38)

Используя цикличность смешанного произведения векторов, образуем в первом члене (14.38) момент орбитального движения частиц

(14.39)

В физике принято под без индексов «орбитальное движение» понимать собственно магнитный момент, сочетания буквобозначать индуцированный магнитный момент. Это всего лишь соглашение об обозначении физических величин, смысл которого от этого не меняется.

Итого выражение для гамильтониана системы частиц во внешнем магнитном поле приобретает вид

(14.40)

До сих пор не учитывалось то, что частицы обладают еще собственным моментом количества движения – спином – учитывался лишь орбитальный момент.

Как же теперь учесть спиновой момент? Ответ заключается в том, что квантовая наблюдаемая под названием «спин» (собственный момент количества движения частицы) не подчиняется принципу соответствия в квантовой механике частиц.

В классической механике частиц нет анализа квантовой наблюдаемой под названием «спин». Это связано с тем, что

1. В классической механике элементарные частицы являются точечными.

2. Существуют экспериментальные факты, прямо противоречащие модели частицы, как обладающей моментом вращающегося волчка.

Если модель прямо противоречит экспериментальным фактам, то она несостоятельно и лучше ее не привлекать для объяснения физических явлений.

В предыдущих строках не случайно подчеркивалось, что речь идет о квантовой механике частиц. Кроме нее существует еще и квантовая теория поля. В нерелятивистской теории она выбирает волны в качестве исходного обзора микрообъекта, а в качестве способа описания – поле. Такая возможность диктуется корпускулярно-волновым дуализмом, реально существующим в нерелятивистской квантовой теории.

В отличие от квантовой механики частиц квантование поля делает из делокализованного поля корпускулы. Такая модель имеет два преимущества:

1. В теории естественным образом появляется понятие «спин».

Число спиновых компонент должно в квантовой теории поля (КТП) совпадать с числом внутренних компонент поля, определенных его трансформационными свойствами относительно преобразований поворота в пространстве.

2. КТП допускает, в отличие от квантовой механики частиц, внутренне непротиворечивое релятивистское обобщение.

После проведенного обсуждения естественным является конструктивный путь введения спина в теорию магнетизма. Удобно в данном случае, сохранить образ микрообъекта как частицы, а образ спина ввести на основе математических аналогий с орбитальным моментом, возникающим при экспериментах с квантовыми элементарными частицами.

Из опыта известно, что с собственным моментом количества движения частицы массы «» и заряда «» связан собственный магнитный момент. Согласно эксперименту

(14.41)

В теории спина последняя формула приобретает характер постулата. Совокупность экспериментальных данных и существующая теория (см. (14.30)) дают для момента орбитального движения частицы аналогичную связь с магнитным моментом орбитального движения

(14.42)

Именно отсутствие в выражении (14.41) коэффициента «» в знаменателе этой формулы заставляет полностью отказываться от модели спина, как вращающегося волчка.

Спин есть специфическая характеристика частицы в квантовой теории.

Теперь необходимо определить магнитный момент системы частиц с учетом ее спина. Этот магнитный момент получается суммированием формул (14.41), (14.42). Поэтому (на основании экспериментальных данных) в теории магнетизма фигурирует магнитный момент

(14.43)

Такое выражение типично для квантовой механики частиц. В КТП выражение (14.43) выводится из общих принципов этой теории.

На основании формулы (14.43) под величиной будем теперь понимать магнитный момент, связанный как с орбитальным движением, так и со спином частицы.

Проведем теперь классификацию атомов по их магнитным свойствам. Используем построенный выше (14.40) гамильтониан, описывающий магнитные явления в атомах вещества

(14.44)

При всех разумных оценках магнитных полей последний член в (14.44) очень мал (это релятивистский малый член, так он содержитв знаменателе). Поэтому им, как правило, можно пренебречь. Учитывать его необходимо только в случае равенства нулю скалярного произведения

(14.45)

Выпишем еще раз гамильтониан взаимодействия, содержащий все магнитные явления в веществе

(14.46)

В гамильтониане (14.46) первого члена нет во внешнем поле , если

(14.47)

Компенсация спина и орбитального момента для атомов практически невероятна, поэтому остается единственная, практически, возможность, когда выполняется (14.47). Это

, (14.48)

Этому требованию удовлетворяет например атом в основном «» состоянии. В более же сложных атомах выполнение равенств (14.47), (14.48) зависит от строения их электронных оболочек.

В случае говорят, что компенсация микроскопических магнитных моментов атомных электронов происходит на внутриатомном уровне. Такие вещества называются диамагнитными.

Существует возможность, когда компенсация магнитных моментов типа существующей в на внутриатомном уровне нет (например, в водороде). Таким образом, существуют атомы в целом обладающие некомпенсированным внутриатомным магнитным моментом. Но это еще не означает, что магнитным моментом обладает вещество в целом. Действительно, моменты атомов могут быть направлены хаотически и компенсироваться на расстояниях порядка межатомных.

Вещества, состоящие из атомов, имеющих магнитный момент, но не имеющие магнитного момента в свободном состоянии называются парамагнитными.

Если вещество состоит из атомов, обладающих магнитными моментами и в основном состоянии стремится к спонтанному магнитному упорядочению, то оно является веществом магнитоактивного типа. Такие магнитоактивные вещества различаются по типу упорядочения в них магнитных моментов атомов. Они являются: либо 1) ферромагнетиками, 2) либо ферримагнетиками, 3) либо антиферромагнетиками.

Выделим класс гомогенных систем, состоящих из атомов одного сорта. Если такая гомогенная система способна к спонтанному магнитному упорядочению, то она называется ферромагнетиком.

Два других типа 2) и 3) – это гетерогенные системы из атомов разных сортов, занимающих то или иное положение в решетке твердого тела.

Выделим в решетке вещества подсистемы, состоящие из магнитоактивных атомов и обладающие магнитным моментом. Пусть эти подсистемы в веществе упорядочены в противоположном направлении (рис. 14.1) так, что компенсация магнитных моментов происходит на уровне подсистем. Такие вещества называются антиферромагнетиками.

Все другие варианты магнитного упорядочения (например на рис. 14.1) существую в веществах – ферримагнетиках.

В заключении отметим, что при анализе пара-, ферро-, ферри- и антиферромагнетизма достаточно учитывать лишь первый член в гамильтониане (14.46). Прейдем теперь к детальному анализу классифицированных выше типов магнетизма.