8.4. Система зарядов во внешнем поле

Рассмотрим реакцию системы зарядов на приложенное к ней внешнее поле. Пусть изучается простая система, изображенная на рис. 8.4.

То есть изучаются, к примеру, 3пространственно разделенные подсистемы. Будем считать поля подсистем1и2внешними по отношению к подсистеме3. Тогда электростатическая энергия рассматриваемой системы выражается формулой

; где

или

(8.31)

Первый член правой части (8.31) описывает взаимодействие в системе, создающей поле. Второй член правой части есть энергия силового взаимодействия выделенной подсистемы с другими заряженными подсистемами. Пусть – заряд выделенной подсистемы. Тогда(8.31) есть, по форме, потенциалподсистемы3с радиус-вектором. Если данная заряженная подсистема состоит из большого числа зарядов с радиус-векторами, то можно предположить, что потенциальная энергия ее взаимодействия с внешним полем выразится формулой

(8.32)

Рассмотрим пространственно-удаленную систему зарядов, помещенную во внешнем поле, рис.(8.5).

Предполагая, что система зарядов находится достаточно далеко от источника поля О, можно ввести малый параметр. Компоненты вектора, направленного из источника поля к заряду, есть.

Учитывая сделанные предположения, можно упростить выражение (8.32) для U. С этой целью разложим его в рад в окрестности:

(8.33)

Перепишем (8.33) с учетом определения напряженности электростатического поля (8.3) и определения вектора :

(8.34)

По определению, есть поле внешних источников. Оно не содержит полей, создаваемых подсистемой внутри себя. Поэтомусоздается внешними зарядами. Так как внутри выделенной подсистемы нет внешних зарядов, то

(8.35)

Поэтому, последний член в (8.34) равен нулю и

(8.36)

Итого, потенциальная энергия системы зарядов во внешнем поле представляется в виде ряда

(8.37)

Потенциальная энергия монополя во внешнем поле:

– заряд системы.

Потенциальная энергия диполя во внешнем поле:

– дипольный момент системы.

Потенциальная энергия квадруполя во внешнем поле:

– квадрупольный момент системы

Пользуясь симметрией второй производной по индексамi,kможно представитьв нескольких эквивалентных формах:

Так как .

Так как .

Таким образом, для напряженностей электростатического поля справедливо равенство:

(8.38)

являющееся лишь другим условием записи условия безвихревого характера поля – условия потенциальности.

С учетом (8.38) член может быть переписан в симметризованной форме:

(8.39)

отсюда сразу видно, что с однородным полем вида квадруполь не взаимодействует.

По потенциалу (8.36) построим напряженность поля с помощью (8.3).

Получим:

(8.40)

Сила Лоренца, действующая на заряд в электростатическом поле (8.40) есть

(8.41)

Между потенциальной энергией системы и действующей на нее силой должно выполняться соотношение:

(8.42)

Проверим его выполнение по формуле (8.37), дифференцируя непосредственно каждое слагаемое, и получим выражение, совпадающее с (8. 41). Таким образом, формула (8.42), действительно, имеет место и элемент эвристики, допущенный при определении Uпо формуле (8.32), получил строгое обоснование.

Рассчитаем момент сил, действующих на систему зарядов во внешнем поле.

По определению, момент сил есть:

(8.43)

Оставляя в приближенном выражении (8.43) только первый член получим хорошо известную формулу электростатики

(

1В дальнейшем это ограничение будет снято.

2Отметим, что существует математическая проблема построения цепочки Боголюбова для систем, в которых не выполняется принцип суперпозиции.