8.3. Поле системы зарядов на далеких расстояниях от нее разложение потенциала по мультиполям

Ранее (8.4) был установлен вид решения для потенциала системы статистических зарядов:

(8.20)

Отметим, что в (8.20) содержится 4Nпараметров для каждой точки, характеризующей место положения заряда (3 координатыи величина заряда). Однако данным решением неудобно пользоваться с целью получения качественных и количественных предсказаний о виде поля, еслиN– большое число (реально же, если частиц десятки и сотни). С целью представления решения для потенциала через меньшее число параметров, заменим точное решениеприближением, которое представляется через конечный набор характеристик системы зарядов.

К

онечной целью является – найти приближенный ответ, параметризуемый числом характеристик системы. Пусть система зарядов локализована в небольшом участке трехмерного пространства (рис 8.2)

Введем вектор , направленный от заряда в точку наблюденияР. В качестве малого из параметров выступает отношение. Обозначим. Эта величина входит в формулу (8.20) для потенциала. С целью дальнейшего преобразования (8.20) разложимв ряд Тейлора в окрестности точки(или). Ограничимся разложением в ряд вплоть до членов со вторыми производными.

(8.21)

Выпишем явные выражения для производных функций

(8.22)

С учетом равенства

(8.23)

Любое слагаемое формулы (8.23) устроено так, что состоит из произведения

С экспериментом легче всего сравнивать наиболее простой (в тензорном смысле) из отличных от нуля членов разложения.

Представим приводимый объект в последнем члене (8.23) как сумму неприводимых представлений произведения векторов, для чего составим комбинацию

и перепишем (8.23) в виде

(8.24)

В (8.24) выделены квадратной скобкой снизу члены, которые являются произведением на тензор-девиатор. Эти члены сумм обращаются в нуль. Поэтому конечный результат рассматриваемого разложения есть

(8.25)

Подставляя (8.25) в (8.20) получаем разложение для потенциала

(8.26)

где – суммарный заряд системы (1 величина)

– квадрупольный момент системы зарядов (5 величин компонент симметричного тензора с равным нулю следом)

Разложение (8.26) можно символически записать как разложение по мультиполям

(8.27)

где члены разложения классифицируются как

Член с суммарным зарядом	Дипольный член	Квадрупольный член

На больших расстояниях от системы поле создается, в основном, только главным членом разложения.

Если , главный член разложения дипольный;,, главный член разложения – квадратурный и так далее. Отметим, что количество параметров, которыми может быть описана система в трех старших приближениях, есть. Если же зарядов100, то полное число параметров –400. То есть, в методе разложения по мультиполям потенциала системы зарядов удалось уменьшитьв150раз число параметров, описывающих систему.

Построим соответствующие членам разложения напряженности полей:

(8.28)

или в векторной форме

(8.29)

где – единичный вектор.

Или, вводя единичный вектор , запишем

(8.30)

Для облегчения расчета мультипольных моментов рассмотрим две теоремы:

Теорема 1.

Если сумма всех зарядов данной системы , то ее дипольный моментне зависит от выбора начала координат.

Доказательство.

Пусть ,– радиус-векторы одного заряда в разных системах координат, связанные соотношением(векторсоответствует сдвигу начала координат). Тогда дипольный момент зарядов в новой системе координат есть:. То есть.

Теорема 2.

Если сумма всех зарядов данной системы , и ее дипольный момент, то квадратурный моментне зависит от выбора начала координат.

Доказательство.

Пусть ,– радиус-векторы одного и того же заряда в разных системах координат, связанные соотношением(векторсоответствует сдвигу начала координат системы зарядов). Тогда тензор квадратурного момента есть

То есть .

Пользуясь первой из доказанных теорем легко вычислить например, дипольный момент системы равных зарядов eс разными знаками, находящихся в углах квадрата

Очевидно что. Выберем начало координат в центре квадрата – точкеО. Рассчитаем дипольные моменты, относительно этой точки, всех зарядов, разбивая их на пары одноименных. Результат вычисления есть

То есть дипольный момент данной конфигурации зарядов .