6.6. Цепочка ббгки уравнений для n-частичных функций распределения.

Будем исходить из уравнений Лиувилля для статистической функции распределения .

(6.33)

Если бы это уравнение было сформулировано для механической функции , то оно было бы формально обратимо при замене. Однако, функцияуже статистическая, принадлежащая предельной модельной системе. Таким образом исходное уравнение необходимо считать необратимым (следствие того, что оно сформулировано для-системы).

Это уравнение для переменных точно решить нельзя. Но оказывается, что уравнение, зависящее от большого числа переменных можно заменить большим числом уравнений, зависящих от малого числа переменных. И после такой замены возможно рассмотрение и решение уравнений зависящих от меньшего числа переменных.

Для простоты рассмотрим гомогенную систему, состоящую из частиц одного сорта.¹

Введём -частичную функцию распределения. Будем обозначать её как, где смысл индексавыяснится ниже.

Определение. Одночастичной функцией распределения для частицы с номером 1 будем называть функцию

(6.34)

Совершенно аналогично вводятся одночастичные функции для любой -й частицы

Все эти функции можно формально ввести, если среди постулатов теории есть постулат о функции распределения . Следующее утверждение в классической (неквантовой теории), строго говоря, является постулатом. В квантовой теории поля есть следствие математического аппарата теории.

5) Принцип тождественности микрочастиц. В системах многих частиц различные частицы неотличимы друг от друга, если принадлежат к частицам одного сорта.

6.6.1. Функции распределения тождественных микрочастиц.

Смысл утверждения 5) заключается в том, что невозможно на каждой частице поставить метку и утверждать, что в прибор при измерении попала именно та, а не другая частица.

Посмотрим, как это отразится на математических следствиях теории. В теории фигурируют номера частиц. Эти метки (номера) условны. Реально в процессе измерения экспериментатор их поставить не может. Итого, функция зависит от своих переменных точно также, какот своих. Это справедливо для гомогенных систем, состоящих из частиц одного сорта. При гетерогенности системы пришлось бы (см. ниже) вводить функции

где – частицы 1-го сорта (допустим электроны),– частицы 2-го сорта (допустим ионы).

Для получения одночастичной функции распределения электронов пришлось бы проинтегрировать по фазовому пространству всех ионов и всех электронов кроме одного. Аналогично строятся одночастичные функции распределения для ионов.

6.6.2. Двухчастичные функции распределения. Уравнения би1, би2.

Введём двухчастичную функцию распределения.

(6.35)

Выборку 2-х частиц из можно сделать большим числом способов. Получатся функции вида, зависящие от своих переменных. Повторяя эту процедуру многократно, можно ввести-частичную функцию распределения

(6.36)

После их формального введения приступим к выполнению математической части программы. Оформим саму идею замены функции, зависящей от большого числа переменных на функцию, зависящую от меньшего числа переменных при одновременном увеличении числа уравнений. Запишем систему уравнений для и посмотрим, можно ли их редуцировать к меньшему количеству. Получим всю систему из одного уравнения Лиувилля.

Учтём, что электромагнитные взаимодействия подчиняются принципу суперпозиции и, кроме того, в классической теории отсутствует самодействие (частица не взаимодействует со своим собственным электромагнитным полем)

(6.37)

Итого получим цепочку уравнений Боголюбова². Для её построения проинтегрируем уравнение Лиувилля (6.33) по всем координатам, кроме координат и скоростей одной частицы.

(6.38)

Учтём, что в гомогенной системе . Выделим во втором члене левой части явно индекс «1» и введём суммирование по «а» явно.

(6.39)

Учтём, что функция распределения островной системы частиц обращается в нуль на границах движения вследствие . Рассмотрим отдельно интеграл

(6.40)

Внесём меру интегрирования под знак дифференциала. Это возможно вследствие принципа тождественности микрочастиц, так как интегрирование идёт по координатам всех частиц, начиная со второй. Поэтому достаточно оставить только индекс «2» и умножим на число интегралов в сумме (6.40). Таких совпадающих друг с другом интегралов будет. Итого получаем уравнение БИ₁ системы Боголюбова

(6.41)

Из уравнения Лиувилля для одночастичной функции распределения получим уравнение, которое содержит семь независимых переменных . Получим уравнение для двухчастичной функции распределения с помощью интегрирования уравнения Лиувилля по

Совершая преобразования, аналогичные выводу уравнения для одночастичной функции распределения получим

(6.42)

Итого получим зацепляющуюся цепочку уравнений для функций распределения . Эта цепочка получила название цепочки Боголюбова, Борна, Грина, Кирквуда, Ивона (ББГКИ).

Чтобы совершить регулярные приближения, надо эту цепочку каким-то образом оборвать, допустим, на функции . Например. Если удастся угадать вид, то можно получить достаточно простое кинематическое уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения. Достаточно нетривиальным является тот факт, что обрывая цепочку ББГКИ по весьма сложным параметрам с использованием сложных гипотез сейчас научились получать всю термодинамику и все законы сохранения.

Отметим, что дальнейшее развитие теории сводится к замене бесконечной цепочки конечной системой уравнений, которая в статистической физике является приближённой. Но при этом можно сопоставлять её решения различным реальным системам. Однако, всегда приходится обсуждать вопрос об адекватности построенной приближённой системы реальной физической системе. Рассмотрим один из вариантов замыкания цепочки ББГКИ. Вместо последовательности функции распределения удобно ввести и использовать последовательность корреляционных функций. Например, функцияможет быть представлена в виде

(6.43)

Такое представление функции распределения возможно только для нестационарного распределения плотностей вероятности. Корреляционная функция характеризует нестационарную статистическую связь частиц 1,2. При этом величины, имеющие смысл вероятности остаются нормированными на «1», корреляционная же функциянормированная на «0». А именно

; ;(6.44)

Учтём, что количество частиц и введём определение средней силы, действующей на частицы в единице объёма.

(6.45)

Тогда последний член в формуле (6.41) с учётом нормировки (6.44) примет вид

(6.46)

Подставляя (8.46) в уравнение (8.41) получим

(6.47)

В (6.47) все вклады в движение микрочастиц, определяемые одночастичной функцией распределения отнесены в левую часть уравнения. Правая часть полностью определяется корреляционной функциейи не обращается в нуль лишь при сближении частиц на расстояние, при котором становится существенным взаимодействие между ними. Если силовое взаимодействие между частицами достаточно слабо, это происходит, фактически, только при столкновениях. Поэтомуиначе называют столкновительным или, по определению Больцмана,st (stoss) членом. Существуют разные формы столкновительного члена, которые подробно изучаются в кинетической теории.

Отметим здесь самую простую форму st-члена, которая называется -приближением.

Предположим, что изучаемая система однородна и имеет малые градиенты скоростей. Тогда её эволюция будет целиком определяться столкновениями между частицами. Заметим, что st-член имеет физическую размерность , где– характерное время столкновений между частицами системы,– частота столкновений. Применяя кинетическое описание к слабонеоднородной и неравновесной системе, возможно изучать её поведение при приближении к состоянию термодинамического равновесия, описываемому равновесной функцией распределения. При отсутствии внешнего поля, ответственного за глобальную неоднородность системы, эта функция будет функцией Максвелла, которая явно не зависит от времени. Кинетическое уравнение, описывающее процесс релаксации системы к состоянию равновесия примет вид, вытекающий, с учётом сказанного, непосредственно из (6.47)

(6.48)

Интегрируя (6.48), получим решение

(6.49)

этот вид решения для и оправдывает знак «–» в формуле (6.48). Действительно, из (6.49) видно, что решение экспоненциально быстро затухает при приближениик равновесной функции распределения. Как известно из термодинамики, равновесной функцией распределения в системах многих частиц (в присутствии внешнего поля) является функция Больцмана-Максвелла

(6.50)

где – нормировочный коэффициент,– температура системы в состоянии равновесия.

После установления в системе распределения (6.50) релаксация прекращается, и физические процессы описываются равновесной термодинамикой.

Таким образом, вид кинетического уравнения со столкновительным членом в -приближении (которое будет необходимо дальше для анализа физических процессов в металлах и плазме) есть

(6.51)

Особо отметим, что изложенный здесь подход к кинетической теории на основе ББГКИ уравнений не является единственным.