6.5.2. Выводы.

Попытаемся суммировать сделанные гипотезы и совместить их с полученными результатами.

В результате измерения среднего значения физической величины экспериментатор получает результат

(6.30)

При этом принципиально теряется информация о коротковолновых (мелкомасштабных) флуктуациях, которая недоступна физическому контролю.

Теперь следует дать адекватный математический образ приращения и включить его в теорию. Для этого придётся обратиться к образу-мерного фазового пространства и сделать ряд гипотез.

1) Эргодическая гипотеза. Фазовая траектория при длительной эволюции системы заполняет всюду плотно всё фазовое пространство. Для большинства физических систем эргодичность сменяется полным перемещением. При перемешивании фазовая капля (капля фазовой жидкости) достаточно быстро расплывается по всему фазовому пространству.

Рис 6.4

Поэтому его следует ожидать, прежде всего, у неустойчивых систем. Локально неустойчивые системы легко представить себе с помощью двух расходящихся траекторий в фазовом пространстве. Пусть – расстояние в фазовом пространстве между двумя точками, причём– расстояние в начальный момент времени (рис. 6.5).

Рис 6.5

Система материальных точек будет локально неустойчивой, если

(6.31)

где инкремент неустойчивости является функцией точки фазового пространства. Переходу к системе с перемешиванием, кроме того, способствует имеющее место в большинстве нелинейных механических систем явление бифуркации. Бифуркация связана с появлением новых ветвей решения, происходящей вследствие потери устойчивости стандартного состояния, вызванной нелинейностями внешними ограничениями в открытой системе

Рис 6.6

Механическая иллюстрация этого явления связана с движением шарика по впадине, которая в некоторой конкретной точке делится возвышенностью на два разветвления. По какому разветвлению пойдёт шарик зависит от небольшой неточности в задании начальных условий для него. Для рассматриваемой механической модели материальных точек взаимодействующих электромагнитным путём друг с другом, понятие бифуркации и флуктуации оказываются тесно связанными друг с другом. Свойство перемешивания способствует превращению механической системы в-системы Колмогорова. Фазовое пространство-системы образует континуум точек размерности, что позволяет вводить и рассматривать на нём, непрерывные функции.

2) Существует предельная модельная система , обладающая статистическими свойствами при конечных временах эволюции. Эта система должна возникать за малое конечное время– времени, соответствующего разрешающей способности прибора.

3) Постулируется математический объект, содержащий информацию о системе . Она содержится в функции распределения

Эта функция зависит от набора переменных, для которых формулируется гипотеза о существовании предельной модельной системы . Вероятность нахождения системы в некоторой области фазового пространства явно зависит от времени. То есть изучаемая система, в общем случае, обязана быть нестационарной.

4) Физическое время эквивалентно мировому.

Чётко определить понятие времени весьма сложно. Во всех рассуждениях и расчётах фигурируют два времени.

Мировое время , которое вместе с пространственным континуумом точек образует множество с определённой геометрией. Мировой континуум точек обладает и определёнными физическими свойствами. Например, в ОТО эти свойства проявляются в совместном искривлении всех четырёх измерений. В то же время прибор измеряет любую физическую величинуво времени, которое не является мировым. Это – условный центр того временного промежутка, по которому происходит измерение – дискретный и счётный.

(6.32)

Множество траекторий в механике – множество размерности . Оно зафиксировано в эргодической гипотезе и понятии-системы. С точки зрения экспериментатора – время есть дискретный набор точек измерения. С точки зрения теории – непрерывный континуум. Чтобы выбраться из этого логического противоречия и приходится принять гипотезу

Эта проблема признана ведущими физиками современности и, возможно, будет дискутироваться ещё и в XXI веке.

Все 4 введённых постулата в совокупности позволяют дать математическое определение средних величин

и доказать важное соотношение

В итоге сделан первый шаг, позволяющий сопоставить объекту исследования физический эксперимент. Но пока не удалось добиться прогресса в решении задачи об уравнениях электродинамики, а удалось просто переформулировать её.

Действительно, в средние величины вошла функция из-мерного фазового пространства. Решить это уравнение невозможно по тем же причинам, по которым невозможно решить исходную теоретическую задачу. Эта ситуация переформулировки уравнений плохо поддаётся контролю так называемым «здравым смыслом», который проявится далее после введения соответствующих гипотез. Заметим, что помимо формальной статистической модели, которая не решается (как и механическая модель) существуют регулярные приближения к точной модели. Ради этих регулярных приближений к формальным точным представлениям исходной модели и строится весь математический аппарат статистической теории.

Для механической системы, состоящей из большого числа частиц невозможно даже сформулировать регулярные приближения. А для статистической теории это возможно. Итак, следующий шаг в формулировке теории – построение решаемой математической модели.