Печатается по решению методической комиссии физфака ргу. Протокол № от .

5. Законы электродинамики в четырехмерном пространстве-времени

5.1. Четырехмерное пространство-время

Уравнения Максвелла в пустоте сводятся к уравнениям Д’Аламбера. В форме Лоренца для потенциалов электромагнитного поля эти уравнения есть:

(5.1)

Система (5.1) в покомпонентной форме записи представляет собой четыре независимых уравнения, причем каждое из них имеет вид:

□ (5.2)

где □– оператор Д’Аламбера.

–некоторая функция координат и времени.

Оператор □ представляет собой квадратичную форму, инвариантную относительно координат и времени. Так как уравнения (5.2) есть закон природы, они должны быть инвариантны относительно выбора системы координат. Как известно, квадратичные формы могут быть инвариантны относительно линейных преобразований координат. Таким образом, возникает идея поиска координатных систем, преобразования которых оставляют инвариантными квадратичную форму □.

Ранее линейные преобразования от одной системы координат к другой уже встречались в нерелятивистской физике и имели форму преобразований Галилея

(5.3)

Эти преобразования зависят от шести параметров – трех пространственных углов Эйлера , трех компонент скоростии оставляют инвариантным время. Однако они нарушают инвариантность преобразования□. Необходимо так обобщить (5.3) на релятивистский случай, чтобы □ оставался инвариантным. Описанное выше временное многообразие никак не зависит от пространственного многообразия. Любым возможным обобщением (5.3) является такое линейное преобразование координат, когда в формулу изменения каждой компоненты входят все четыре величины – координаты и время. То есть это должно быть преобразование четырехмерного пространственно-временного многообразия самого в себя. Поэтому попытки найти четырехмерное преобразование, обобщающее преобразование Галилея на релятивистские теории типа электродинамики с необходимостью приводят идее четырехмерного пространственно-временного многообразия. Единство этого многообразия отражено в преобразованиях, переводящих его само в себя затрагивающих все координаты (три пространственных координаты и время). Таким образом, применение к релятивистской физике (при скоростях волн и частиц порядка скорости света “”) простого математического следствия об инвариантности квадратичной формы относительно линейных преобразований координат приводит к возникновению глубокой физической идеи об описании наблюдаемого мира в терминах четырехмерного многообразия. После возникновения этой новой заранее неочевидной идеи отпадает необходимость в раздельном описании пространственных координат и времени. Введем вместо времениновую четвертую пространственную координату

(5.4)

Теперь по аналогии с трехмерными четырехмерные координаты объединятся в единый комплекс, в который войдут три пространственные и временная координаты

(5.5)

Четырехмерная координата называется контравариантной координатой. Индекс “” выбирается верхним по историческим причинам и “пробегает” четыре возможные значения.

С помощью введенных четырехмерных координат оператор Д’Аламбера □ может быть переписан в более компактном виде:

□ (5.6)

Из формулы (5.6) вытекает вид матрицы

(5.7)

Формулу (5.7) можно переписать также в виде

(5.8)

Так как выражение (5.6) есть квадратичная форма, она должна быть инвариантна относительно преобразований вида:

(5.9)

Причем в силу однородности и изотропии четырехмерного пространства-времени, преобразование (5.9) совпадает с преобразованием дифференциалов координат. Поэтому справедливо соотношение

(5.10)

где .

Отметим, что координаты ,нового и старого набора, арифметизующие пространство-время не обязаны быть геометрически эквивалентны друг другу. Поэтому. В то же время физически очевидно, что в нерелятивистском пределематрицаобязана содержать те же три пространственных углаи три компоненты скорости, что и преобразования Галилея (5.3). Преобразования (5.9), переводящие само в себя глобальное четырехмерное многообразие и имеющее физический смысл преобразования от системы отсчета одного наблюдателя к системе отсчета другого наблюдателя называются преобразованиями Лоренца. Они с необходимостью фиксируется требованием инвариантности оператора□ относительно преобразований Лоренца, причем во всех системах координат удовлетворяются равенство

(5.11)

Пусть координаты ,нового и старого набора связаны друг с другом функциональной связью. Пустьесть некоторый скаляр, то есть величина, не зависящая от выбора системы отсчета. Выполним операцию дифференцирования над полем скаляра, рассматривая его как сложную функцию новых координатот старых. Тогда получаем очевидное выражение для производной от сложной функции

(5.12)

Из (5.12) следует, что вновь построенный инвариантный оператор дифференцирования обладает трансформационными свойствами

(5.13)

где . Индексвектораназывается ковариантным индексом.

Таким образом, в законе преобразования (5.13) проявляется различие верхних и нижних индексов (контра- и ковариантных компонент тензоров, принадлежащих единому четырехмерному пространственно-временному многообразию).

Введем контравариантный оператор дифференцирования , преобразующийся при изменении системы координат как контравариантный вектор (см. 5.9). Вычислим его свертку в новой координатной системе, используя законы преобразования (5.9),(5.13)

То есть удалось показать, что величина есть инвариант

(5.14)

Кроме того, из приведенного вывода следует, что свертка фундаментальных матриц преобразования Лоренца приводит к тензору Кронекера в четырехмерном пространстве

(5.15)

Из соотношений (5.7), (5.11), (5.13), (5.15) следует инвариантность оператора Д’Аламбера относительно преобразования системы координат (5.9), равного по определению

□

Иначе говоря □□.