Печатается по решению методической комиссии физфака ргу. Протокол № от .

17. Волновые решения уравнений максвелла

17.1. Постановка задачи

Волны являются делокализованной формой материи. Волновое поле суть вид материи или объект, который занимает все пространство (в отсутствии отражающих стенок). Волны могут существовать совершенно независимо от частиц и наравне с ними! Подчеркнем в этой связи следующие:

1. эксперимент показывает, что несмотря на нелокальность волн существуют квазилокальные, составленные из них образования – волновые пакеты. Поэтому, как кажется, корректно поставить задачу о конструировании ее из волновых пакетов фундаментальных частиц.

2. в электромагнитной волне материя проявляет себя через поля. Электромагнитное поле полностью задается напряженностями ,, которые связаны с электромагнитной волной локально в каждой точке пространства в любой момент времени. Волны, в принципе, не могут быть статическими образованиями, за исключением тривиального случая¹. Если в электромагнитную волну поместить пробный электрический заряд, он реагирует на напряженность поля волны, и ее существование приводит к наблюдаемым физическим последствиям. Свободные электромагнитные волны ярко демонстрируют тезис о том, что поле есть характеристика пространства и времени.

Для изучения законов внутренней динамики электромагнитной волны необходимо привлечь уравнения Максвелла, которые в вакууме (в отсутствии токов и зарядов) принимают вид:

(17.1)

Возьмем rot от второго уравнения (17.1)

(17.2)

Применим к левой части (17.2) тождество и используя последнее четвертое уравнение (17.1)

(17.3)

Подставляя в (17.3) первое уравнение (17.1), получим волновое уравнение для

(17.4)

С помощью аналогичных преобразований из второй пары уравнений (17.1) получается волновое уравнение для

(17.5)

Очевидно, что форма (17.4), (17.5) не зависит от выбора системы отсчета! Однако появляется иллюзия разделения полей и, хотя на самом деле, они связаны уравнениями Максвелла. Это является недостатком данного способа получения волновых уравнений для напряженностей полей,.

17.2. Экспресс-анализ свободных уравнений максвелла

В пункте 17.1. было показано, что уравнения Максвелла для свободных полей тождественными преобразованиями приводятся к волновым уравнениям (17.4), (17.5). Их решение можно искать в виде суперпозиции плоских волн²

(17.6)

Дальнейшей целью этого анализа является:

1. построение дисперсионного соотношения

,

2. нахождение связи между векторами ,и закона их относительного пространственного расположения в электромагнитной волне.

Подстановка (17.6) в уравнение (17.4), (17.5) позволяет свести дифференциальные уравнения к алгебраическим с помощью равенств

(17.7)

После этой замены уравнения Максвелла для электромагнитных волн в форме (17.1) принимают вид:

,

(17.8)

,

Из алгебраических уравнений (17.8) следуют выводы:

1. Электромагнитные волны поперечны, то есть ,. (волновой вектор, по определению ориентирован вдоль направления распространения волны)

2. Векторы ивзаимно перпендикулярны, как видно непосредственно из уравнений для векторных произведенийи.

То есть имеет место следующая пространственная картина расположе-ния волновых векторов в виде ортогональной тройки векторов.

3. Для получения дисперсионного соотношения выразим через одно из векторных произведений (17.8)

и подставим во второе

(17.9)

Раскрывая двойное векторное произведение в (17.9), получаем уравнение

откуда с учетом (17.8) следует, что

(17.10)

Из тех же уравнений для векторных произведений в (17.8) следует, что при ,, гдеи следовательно,.

4. Вычислим поток энергии в электромагнитной волне

(17.11)

где ассоциируется, таким образом, с направлением потока энергии в электромагнитной волне.