Печатается по решению методической комиссии физфака ргу. Протокол № от .

12. Уравнения магнитостатики

12.1. Постоновка задачи

Прежде всего, выясним, когда и в каком смысле классическая физика допускает приближение магнитостатики.

Пусть в некоторой электродинамической системе все заряды и токи равны нулю. Из проведенного ранее анализа (§3) ясно, что такая система допускает распространение в ней электромагнитных волн и никаких других эффектов сверх этого. Случай магнитостатики, которую мы хотим построить, должен, очевидно, допускать отличный от нуля ток , ввиду отсутствия магнитных зарядов в природе и уравнениях электродинамики. Случаю статики должны также соответствовать поля, не меняющиеся со временем(Напряженности электрического и магнитного полей зависят только от координат).

Тогда микроскопические уравнения Максвелла примут вид, с которого и начнем математический анализ проблемы:

(12.1)

Рассмотрим (12.1), перебирая последовательно гипотезы о том, что же такое классическая магнитостатика?

Перечислим их ниже

1) .

Уравнения (12.1) примут в этом случае вид:

(12.2)

Из (12.2) следует, что (для этого достаточно применить основную теорему векторного анализа), а также

(12.3)

Но (12.3) есть случай именно электростатики, в котором решение для поля точечных зарядов хорошо известно:

(12.4)

2) .

Система (12.1) в этих предположениях упрощается до вида:

(12.5)

Из (12.5) следует (здесь опять достаточно применить основную теорему векторного анализа).

Вспомним теперь, что источники поля точечных зарядов даются формулами (см. §1):

(12.6)

Тогда из следует, что все. Но приравны нулю все токи в системе. Это, в свою очередь дает

(12.7)

Следствием (12.7) является . Итак в случае 2) магнитостатика также отсутствует.

Остается последний вариант:

3) .

Из (12.6) следует, что теперь . Но скорости зарядовпри движении зарядов по классическим траекториям. При такой зависимости скорости от времени плотность тока также зависит от времени. Но тогда из (12.1) следует, что, как следствие зависимости источникаот времени.

Таким образом, в рассмотренных чисто классических вариантах микроскопической магнитостатики не возникает.

Рассмотрим на более сложную микроскопическую модель.

Будем рассматривать поля и токи, создаваемые элементарными частицами, описывающими в пространстве финитные траектории и совершающими квазистационарные квазипериодические движения.

Квазистационарное поле, по определению, есть среднее поле (< поле >), усредненное по характерным временам квазипериодического движения, период которого

, (12.8)

где – характерные времена микроскопических движений в системе. Рассматриваемое усреднение не является статистическим, так как статистическое усреднение проводится по ансамблю, который должен возникнуть в термодинамически равновесном состоянии. Здесь же имеет место усреднение по времени. Такое усреднение в классической (не квантовой физике) родственно усреднению в квантовой механике по состояниям квантового ансамбля, которому сопоставляется вектор состояния.

Обсуждаемое в тексте классическое усреднение для любой физической величины дает:

(12.9)

если величина определяется квазипериодическими движениями, совершаемыми системой.

Например, для напряженности магнитного поля частиц получим. В этом же ряду стоит и более слабое условие для напряженности электростатического поля, при котором также будут справедливы уравнения магнитостатики. Заметим, что ниже во всех пунктах §12 фигурируют именно средние величины описанного выше типа, как для полевых частиц, так и для источников поля. Однако сам значок усреднениямы будем использовать лишь только при явном проведении операции усреднения в конкретных вычислениях. Во всех остальных случаях этот значок не ставится, а подразумевается. Сделано это с единственной целью – разгрузить выкладки от лишней символики, которая способна только усложнить их адекватное восприятие.