Печатается по решению методической комиссии физфака ргу. Протокол № от .

8. Электродинамика точечных зарядов

8.1. Поле системы зарядов

Рассмотрим область V пространства, в которой отсутствуют токи . Кроме того, в областиV все заряды находятся в вакууме и отсутствуют внешние падающие на нее и внутренние электромагнитные волны.

Из следует отсутствие магнитного поляи стационарность электрического. При этих условиях система уравнений поля редуцируется в областиV к одному уравнению:

(8.1)

Все остальные уравнения Максвелла обращаются в выбранной системе в тождества. Для плотности точечных зарядов имеет место выражение

(8.2)

Так как , а вектор-потенциалвместе с магнитным полем, то согласно основной теореме векторного анализа, полеявляется потенциальным:

(8.3)

Подставляя (8.3) в (8.1) получаем для электростатического потенциала уравнение Пуассона:. Выпишем его частное решение, порождаемое распределением зарядов (8.2) в пространстве:

Итого

(8.4)

есть потенциал в виде суммы полей создаваемых системой зарядов.

Найдем напряженность поля (8.4)

где ;

– радиус-вектор точки наблюдения;

– радиус-вектор точечного заряда номера «а»;

или вводя единичный вектор , направленного от заряда в точку наблюдения поля, перепишем последнее равенство как:

(8.5)

Отметим, что поле системы зарядов является сингулярным в тех точках, где находится сам заряд . Эти расходимости присущи классической теории электромагнитного поля.

8.2. Электрическая энергия системы зарядов

Попробуем ответить на вопрос, какая энергия запасена в системе зарядов? Это необходимо знать, так как при перестройке системы запасенная в ней энергия, в принципе может перейти в другие формы.

Будем исходить из уравнения баланса – закона сохранения энергии в интегральной форме:

(8.6)

Учитывая, что рассмотрению подвергается статическая система зарядов в отсутствии их движения и потоков энергии требуем, чтобы кинетическая энергия зарядов и поток энергии через поверхность, окружающую систему, были равны нулю:

,(8.7)

Тогда из (8.6) и (8.7) следует закон сохранения энергии для электростатической системы зарядов:

(8.8)

где .

Из (8.8) следует, что энергия статического поля:

(8.9)

В формуле (8.9) поле явно выступает как носитель энергии. Однако можно дать электростатической энергии и другую интерпретацию, для чего совершим систему тождественных преобразований, перебрасывая оператор по правилам дифференцирования произведения в выражении дляWс одного подынтегрального члена на другой

Первый член последней строки сводится к интегралу по поверхности S, ограничивающей поле вида

так как отсутствует поток поля через поверхность. Во втором члене надо использовать уравнение Максвелла (8.1). Тогда для энергии справедливо выражение

(8.10)

Для более строгого обоснования (8.10) оценим члены в выражении для отброшенного поверхностного интеграла:

,,

(площадь сферы, ограничивающей трехмерную область, есть ).

Итого

(8.11)

и стремится к нулю при . Итак, полная энергия электростатического поля есть

(8.12)

Подставляя в (8.12) выражение электростатического потенциала из (8.4), используя«b»в качестве индекса суммирования

То есть

(8.13)

Иначе, если в системе находится Nзарядов, полная энергия равна:

(8.14)

Первый член (8.14) есть – энергия взаимодействия заряда с собственным нолем (энергия классического самодействия заряда).

Эта энергия бесконечна, так как считается энергия поля в точках нахождения заряда.

Второй член (8.14) есть – энергия взаимодействия различных зарядов друг с другом.

Электростатическая энергия системы зарядов есть функционал ее состояния. При изменении конфигурации системы зарядов меняется энергия взаимодействия . Энергия же самодействия, по-прежнему бесконечна. Это значит, что энергию самодействия нельзя никак использовать! Сомодействие не наблюдаемо, в принципе, и оно устраняется математически перенормировкой

(8.15)

то есть для получения из энергиивычтена энергия самодействия:.

С точки зрения элементарной математики вычитание бесконечностей есть некорректная процедура. Можно ли осуществлять ее строго? Для этого необходимо вместо конечных частиц ввести однородно заряженные шарики. Для любого такого шарика можно вычислить конечную энергию самодействия. Пусть шарик имеет радиус . Тогда плотность его заряда есть:

Плотность заряда внутри шара есть, а полный зарядзависит от радиуса по закону. Заряд сферического слоя (см. рис. 8.1) есть.

В (8.15) перейдем от суммирования к интегрированию. Тогда энергия шарового слоя есть (в силу симметрии выражения по,множительсокращается).

Полная электростатическая энергия находится интегрированием этого выражения по r:

Итого

(8.16)

есть энергия сферической частицы радиуса – конечная энергия взаимодействия шарика самого с собой.

Полная энергия системы таких частиц есть:

(8.17)

Выражение (8.17) является приближенным, так как оно не учитывает энергию взаимодействия остальных зарядов со слоями данного неточечного радиуса . Однако приприближенное равенство в (8.17) превращается в точное. Конечность выражения (8.17) позволяет определить электростатическую энергию взаимодействия зарядов друг с другом как

(8.18)

после чего величина становится конечной и равной

(8.19)

или в эквивалентной форме

где штрихом обозначено исключение из рассмотрения.