13. Макроскопическая магнитостатика.

13.1. Задача макроскопической магнитостатики.

Что нас может интересовать в магнитостатике? Попытаемся также четко сформулировать предмет исследования, как это имело место в случае электростатики проводников и диэлектриков.

Во-первых, этот раздел физики является теоретической и экспериментальной основой для прикладной электротехники. Именно в нем описывается постоянный ток, текущий по контурам. Этот ток

1) создает магнитные поля;

2) приводит к силовым воздействиям, которые в свою очередь могут привести к деформациям материалов.

Поэтому, надо знать, как рассчитывать магнитные поля токов и как анализировать силовое взаимодействие между контурами с током. Решение этих задач требует чисто формального применения математики к уравнениям магнитостатики. Однако, могут возникнуть некоторые тонкости физического характера (аналогично задаче о расчете емкостных коэффициентов в электростатике). Тонкость состоит в том, что добавление нового элемента к системе контуров с током меняет расчет с самого начала. Другая тонкость состоит в том, что решаемые задачи есть задачи с самосогласованными граничными условиями (которые ставятся не для электрического, а для магнитного поля). Все выше сказанное есть прямое следствие макроскопических уравнений Максвелла.

Однако, существует и другой тип задач, возникающих в магнитостатики. Это задачи о природе магнитных свойств вещества. Напомним, что в классической физике явление магнитного упорядочения отсутствует в принципе. Динамика момента количества движения во внешнем поле носит характер прецессии (§12.6). Магнитное поле не совершает работы, в отличие от электрического, а поэтому, не может изменить исходной конфигурации. Таким образом, классическая микроскопическая электродинамика порождает проблему магнитного упорядочения, которое в ней отсутствует.

Для того, чтобы разобраться в этой проблеме, придется заглянуть достаточно глубоко в структуру материи. Необходимо будет учесть квантовый характер закономерностей, связанных с природой магнитных свойств вещества. Отличие от электростатического упорядочения состоит в том, что для понимания магнитного упорядочения недостаточно будет учесть какие-либо поправки к уже написанным уравнениям теории магнетизма. В теории магнетизма классическая физика с самого начала беспомощна и ее придется формулировать и решать на языке квантовой теории. Основное внимание далее будет уделено не техническим применениям задач магнитостатики, а принципиально важной задаче о возникновении магнитных свойств вещества.

13.2. Магнитостатика постоянных токов, текущих по тонким проводникам.

Рассмотрим систему тонких контуров с током, таких что

(13.1)

г де – диаметр поперечного сечения; – характерный размер контура (Рис. 13.1).

Начнем анализировать физическую ситуацию в этих контурах, для чего выпишем уравнения макроскопической магнитостатики.

(13.2)

где – плотность свободных токов; – вектор намагничивания (магнитный дипольный момент единицы объема вещества).

Задача магнитостатики приобретает окончательную математическую форму только при наличии связи и (либо надо предложить методику расчета – магнитного момента единицы объема вещества).

Упростим задачу еще более. Рассмотрим материалы с линейной связью

(13.3)

(это возможно только лишь тогда, когда (см. §16.13)).

Напомним в этой связи, что магнитная напряженность не имеет прямого физического смысла, однако часто вводят магнитную восприимчивость по отношению к полю по формуле

(13.4)

Продолжим упрощение поставленной задачи. Пусть (имеется в виду, что тонкий контур помещен в некоторую среду и – ее магнитная проницаемость. Тривиальным примером является электрическая проводка в стене комнаты). Отметим, что предположение

(13.5)

вводится для простоты. В общем случае надо рассматривать неоднородный контур с током. Причина такой неоднородности легко может быть указана для мощных силовых кабелей, которые своим полем деформируют окружающую среду. Кроме этого изначально возможно неоднородность среды при рассмотрении узких прикладных задач, в том числе – ее кусочная неоднородность.

В рассматриваемом случае уравнения (13.2) еще более упрощаются.

(13.6)

Система (13.6) есть система уравнений магнитостатики вещества в простейшем случае. Следует еще раз обратить внимание на ограничения, в которых получена эта система уравнений отнюдь не общего вида. С учетом этих ограничений строится и алгоритм ее решения. В случае микроскопической магнитостатики, как было показано ранее, термин «магнитостатика» весьма условен ввиду того, что для ее построения привлекается довольно сложная классическая модель. В макроскопической же электродинамике с самого начала приходится работать с усредненными полями. Поэтому сам термин «статика» используется при построении соответствующего приближения без условностей и оговорок.

Согласно основной теореме векторного анализа, величина (как это следует из (13.6)) может быть представлена в виде

(13.7)

Выберем такое же калибровочное условие для вектора , какое использовалось в микроскопической магнитостатике (§12.2)

(13.8)

Подставляя (13.7), (13.8) в первое из уравнений (13.6) получаем с использованием стандартной формулы векторного анализа уравнение для

(13.9)

Уравнение (13.8) есть уравнение Пуассона и его решение имеет вид:

(13.10)

где и – точка наблюдения поля.

Область интегрирования есть область локализации токов свободных зарядов (контуров с током) и интегрирование в (13.10) идет по области пространства, занятой этими контурами. Зная выражения для можно (аналогично §12.2) найти

(13.11)

Формула (13.11) есть закон Био-Савара-Лапласса в макроскопической магнитостатике. Формула (13.11) еще не предполагает, что проводники с током являются тонкими. Упростим ее, рассматривая тонкие проводники (см. условие 13.1).

П ренебрегая отношением , можно считать, что совпадает по направлению с элементом контура (Рис. 13.2).

Пусть , а – единичный вектор касательной к контуру. Тогда справедливо

(13.12)

откуда следует, что

(13.13)

где – площадь контура; – полный ток через поперечное сечение проводника в единицу времени.

Ток постоянен во времени, так как поле – статистическое. Тогда в силу закона сохранения заряда ток постоянен и вдоль контура.

Вынося ток за знак интеграла в (13.11) и переходя от интегрирования по пространству к интегрированию по замкнутому контуру с током, получим закон Био-Савара-Лапласса для замкнутого конура с током

(13.14)

Рассмотрим вопрос, в каких случаях можно использовать закон Био-Савара-Лапласса в виде (13.14), а в каких – выписывать его из других соображений. Выделим высокосимметричные ситуации из всех возможных ситуаций. Они важны не только потому, что поддаются простому анализу, а еще и потому, что

1) используются для постановки метрологических экспериментов;

2) высокосимметричные ситуации как раз являются теми ситуациями, когда величине можно придать смысл характеристики источников и рассматривать ее как некое физическое поле (аналогичная ситуация имеет место в электростатике изотропных сред (см. §11.5 – физическая природа сегнетоэлектриков)).

К числу высокосимметричных ситуаций можно заведомо отнести

1) очень тонкий и очень длинный прямолинейный провод;

2) магнитное поле прямолинейного провода с током в проводнике конечной толщины с геометрией цилиндра. Радиус цилиндра конечен. Такая геометрия позволяет соотнести расчет поля с полем очень тонкого провода и потребовать совпадения результатов при бесконечно малой толщине цилиндра.

3) поле соленоида с током.

П риведем решение последней задачи 3) (Рис. 13.3, см. также §1).

Соленоид представляет собой катушку с ферритовым сердечником (сердечник состоит из материала, обладающего магнитными свойствами с магнитной проницаемостью ). Будем считать катушку бесконечно длинной и обладающей большим числом витков, приходящихся на единицу его длинны. Запишем уравнение Максвелла (6.235) при и сразу в интегральной форме

(13.15)

Интегрирование в (13.15) ведется по плоскости , одетой на контур внутри соленоида (см. Рис. 13.3).

Применим к (13.15) теорему Стокса и получим

(13.16)

где – полный ток, протекающий через контур .

Пользуясь симметрией задачи, возьмем интегралы в (13.16). Получим

где .

– полный ток, протекающий через контур ; где – ток в обмотке соленоида; – полное число витков, проходящих через контур длинны (Рис. 13.3).

Очевидно, что силовые линии магнитного поля замыкаются на бесконечности (так что надо привлекать для анализа поле и уравнение . Фактически поле строится по двум уравнениям. Так что для этой ситуации, несмотря на то, что поле прямолинейной части соленоида постоянно ).

Итого получаем

(13.17)

В формуле (13.17) слева стоит величина , о которой ранее говорилось, что она не имеет прямого физического смысла. Число витков на единицу длинны создается и контролируется экспериментатором. Получим, что для соленоида имеется жесткая связь между физическими величинами и .

Поэтому поле характеризует в этой задаче систему свободных токов и ему придается статус характеристики свободных источников поля – токов. Величина характеризует подсистему свободных токов или внешний источник поля. Меняя ток будем менять величину . Меняя , на самом деле, меняем состояние магнитного сердечника соленоида. Итого всю задачу можно представлять себе как задачу о восприимчивости по отношению к полю .

На самом деле, для этой конфигурации токов оба равенства

и

характеризуют реакцию материала на изменение силы тока и демонстрируют возможность постановки задачи для соленоида, как задачи о нахождении восприимчивости по отношению к полю .

Рассчитаем магнитный момент контура с током для тонкого провода, помещенного в вещество.