ответы к билетам матан 1 семестр docx - 2010 / 15.Асимптоты графика функции.Необходимые и достаточные условия их сущ

15.Асимптоты графика функции.Необходимые и достаточные условия их сущ. Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, то есть точка графика функции при своём стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте. Вертикальная Горизонтальная Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела lim_{x® +Ґ}f(x)/x = k, lim_{x® +Ґ}(f(x)-kx) = b.

Доказательство. Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид f(x) = kx+b+a(x), тогда lim_{x® +Ґ}f(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k, lim_{x® +Ґ}(f(x)-kx) = lim_{x® +Ґ}(b+a(x)) = b.

Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +Ґ. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.