ответы к билетам матан 1 семестр docx - 2010 / 43.Признак Даламбера

Теорема 6. (Признак Даламбера)

Пусть дан знакоположительный числовой ряд

          (7)

и пусть существует предел  При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.

Доказательство. По условию существует предел . Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех номеров nN выполняется условие или

p-E<     (10)

Пусть сначала p<1. Выберем Е так, что p+E=q<1. Для всех nN имеем   … или

или

                (11)

Рассмотрим ряды

     (12)

.  (13)

Ряд (13) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Тогда ряд (12) сходится, учитывая (11), по признаку сравнения. Ряд (7) сходится по теореме 1.

Пусть теперь p>1. Выберем Е так, что p-E>1. Тогда из левой части неравенства (10) следует, что при nN выполняется или u_n+1>u_n, то есть члены ряда возрастают с возрастанием номера n. Поэтому u_n0, следовательно, ряд расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.