ответы к билетам матан 1 семестр docx - 2010 / 39.Экстремумы функции двух пременных

Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x₀;y₀)  D.

Точка (х₀;у₀) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая -окрестность точки (х₀;у₀), что для каждой точки (х;у), отличной от (х_о;у_о), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(х_о;у_о).

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х₀;у₀), из -окрестности точки (х_о;у_о) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х₀;у₀).

Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N(x₀;y₀) дифференцируемая функция z=ƒ(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ƒ'_x(х₀;у₀)=0, ƒ'_y(х₀;у₀)=0.

Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у₀. Тогда получим функцию ƒ(х;у₀)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), φ'(х₀) = 0, т. е. ƒ'x(х0;y0)=0.

Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (х_о;у_о) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х₀;у₀) значения A=f''_xx(x₀;y₀), В=ƒ''_xy(х₀;у₀), С=ƒ''_уy(х₀;у₀). Обозначим

Тогда:

1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х₀;у₀) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х₀;у₀) экстремума не имеет.

В случае Δ = 0 экстремум в точке (х₀;у₀) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.